Probar que los idiomas regulares están cerrados bajo el operador de ciclo

Tengo en unos días un examen y tengo problemas para resolver esta tarea.

Dejar $L$ ser un lenguaje regular sobre el alfabeto $\Sigma$ . Tenemos la operacion $\operatorname{cycle}(L) = \{ xy \mid x,y\in \Sigma^* \text{ and } yx\in L\}$ Y ahora deberíamos demostrar que $\operatorname{cycle}(L)$ También es regular.

La referencia es que podríamos construir a partir de un DFA $D=(Q,\Sigma,\delta, q_0, F)$ con $L(D) = L$ una $\epsilon$ -NFA $N$ con $L(N) = \operatorname{cycle}(L)$ y $2 · |Q|^2 + 1$ estados.

— usuario1594
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Ejercicio 5.4 , con vencimiento el 24 de mayo.

— Raphael

La idea es decidir de manera no determinista al principio cuánto se cicla la palabra, y tener una copia del autómata para cada caso. En términos del autómata, eso significa que adivinamos en qué estado $D$ habría sido después de consumir el prefijo de una palabra (que es un sufijo de nuestra entrada), y comenzar en ese estado.

Ahora la construcción. Para cada estado $q \in Q$ separado $D$ en dos partes $A_1$ y $A_2$ . $A_1$ contiene los estados desde los cuales $q$ es accesible y $A_2$ los estados a los que se puede llegar desde $q$ :

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Tenga en cuenta que cualquier nodo dado puede estar contenido en ambos $A_1$ y $A_2$ . Por lo tanto, el número de estados puede duplicarse si hacemos explícito este paso.

Ahora volvemos a cablear este autómata para que acepte todas las palabras para las cuales $q$ marca el "punto de ciclo":

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Obtenemos $|Q|$ autómatas de esta forma; crear un nuevo estado inicial que tiene $\varepsilon$ -transiciones a todos sus estados iniciales. El autómata resultante acepta $\operatorname{cycle}(L)$ . En total, llegamos a lo más $|Q|\cdot(2|Q|+1) + 1$ estados, solo $|Q|$ más estados que las reclamaciones de referencia son posibles.

Puedes lograr $2|Q|^2 + 1$ estados modificando un poco el autómata componente; eliminar todo $q_0$ reemplazando el entrante $\varepsilon$ -transiciones con copias de sus transiciones salientes. Es decir, para cada par de transiciones. $(q_1,\varepsilon,q_0), (q_0,a,q_2)$ , introduce una transición $(q_1,a,q_2)$ .

La construcción rigurosa y la prueba de corrección permanecen como ejercicio.

— Rafael
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pero ¿cómo puedes probar esto que acabas de construir un nfa?

— Sad Golduhren

@SadGolduhren Raphael construyó un NFA (es finito porque hay un límite finito en el número de estados). Para ver que este NFA reconoce el mismo idioma que el original, observe las rutas a través de los autómatas:

q_{0} \to q

$q_0 \to q$ y

q \to q_{F}

$q \to q_F$ (dónde

q_{F}

$q_F$ es cualquier estado final alcanzado desde

q

$q$ ) volverse

q \to q_{F}

$q \to q_F$ y

q_{0} \to q^{'}

$q_0 \to q'$ y

q_{F} \overset{ϵ}{\to} q_{0}

$q_F \stackrel\epsilon\to q_0$ completa el camino

— Gilles 'SO- deja de ser malvado'