Decidir si un autómata determinista puede aceptar un lenguaje sin contexto

Dada una gramática G sin contexto, existe un Automatismo N Pushdown no determinista que acepta exactamente el lenguaje que G acepta. (y viceversa)

También puede existir un Automatismo determinista pushdown D que acepta exactamente el lenguaje que G acepta también. Depende de la gramática.

¿Por qué algoritmo en las producciones de G podemos determinar si D existe?

No existe un algoritmo que, dada una gramática libre de contexto, decida si un DPDA reconoce el mismo lenguaje y lo calcula si existe.

Porque si existiera dicho algoritmo, podríamos decidir el problema indecidible de la universalidad de una gramática libre de contexto, es decir, si una gramática libre de contexto dada $G$ en reconoce todo el lenguaje .Σ$Σ$$Σ^*$

Supongamos que existe tal algoritmo $A_{DPDA}$ . Deje que $G$ sea ​​una gramática libre de contexto. Deje $L$ ser $\mathcal L(G)$ . A continuación, el algoritmo $A_{DPDA}$ decidirá si hay un DPDA $A$ reconocimiento $L$ .

• Si no existe tal DPDA, entonces $L$ no es reconocible por un DPDA, en particular no es regular, por lo que no puede ser $Σ^*$ .

• Si existe un DPDA , entonces podemos decidir si es igual a porque la universalidad es decidible para los DPDA. ¿Por qué? Porque:L Σ$A$$L$$Σ^*$

  • Los lenguajes DPDA están cerrados bajo complementación (porque los DPDA son deterministas)
  • el vacío es decidible para DPDA (porque es para PDA )

Usando hemos construido un algoritmo para decidir si para cualquier gramática sin contexto , que se ha demostrado que es imposible. Por lo tanto, no existe. L ( G ) = Σ ∗ G A D P D $A_{DPDA}$$L(G)=Σ^*$$G$$A_{DPDA}$