Es el complemento de {ww | ...} sin contexto?

Defina el lenguaje $L$ como $L = \{a, b\}^* - \{ww\mid w \in \{a, b\}^*\}$ . En otras palabras, $L$ contiene las palabras que no se pueden expresar como alguna palabra repetida dos veces. ¿Es $L$ contexto o no?

He intentado intersectar con a ∗ b ∗ a ∗ b $L$$a^*b^*a^*b^*$ , pero todavía no puedo probar nada. También miré el teorema de Parikh, pero no ayuda.

Es libre de contexto. Aquí está la gramática:

A → a | a A a | a A b | b A b | b A a B → b | a B a | a B b | b B b | b B $S \to A | B|AB|BA$
$A \to a|aAa|aAb|bAb|bAa$
$B \to b|aBa|aBb|bBb|bBa$

genera palabras de longitud impar con a en el centro. Lo mismo para B y b .$A$$a$$B$$b$

Presentaré una prueba de que esta gramática es correcta. Deje (el idioma en la pregunta).$L = \{a,b\}^* \setminus \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$

Teorema. . En otras palabras, esta gramática genera el lenguaje en la pregunta.$L = L(S)$

Prueba. Esto sin duda es válido para todas las palabras de longitud impar, ya que esta gramática genera todas las palabras impares del largo, al igual que . Así que centrémonos en palabras de longitud par.$L$

Supongamos que tiene una longitud par. Mostraré que x ∈ L ( G ) . En particular, afirmo que x se puede escribir en la forma x = u v , donde u y v tienen una longitud impar y letras centrales diferentes. Por lo tanto, x puede derivarse de A B o B A (según si la letra central de u es a o b ). Justificación del reclamo: Sea la i ésima letra de $x \in L$$x \in L(G)$$x$$x=uv$$u$$v$$x$$AB$$BA$$u$$a$$b$$i$$x$ be denoted $x_i$, so that $x = x_1 x_2 \cdots x_n$. Then since $x$ is not in $\{ww \mid w \in \{a,b\}^{n/2}\}$, there must exist some index $i$ such that $x_i \ne x_{i+n/2}$. Consequently we can take $u = x_1 \cdots x_{2i-1}$ and $v = x_{2i} \cdots x_n$; the central letter of $u$ will be $x_i$, and the central letter of $v$ will be $x_{i+n/2}$, so by construction $u,v$ have different central letters.

Luego suponga que tiene una longitud par. Voy a demostrar que debemos tener x ∈ L . Si x tiene una longitud par, debe ser derivable de A B o B A ; sin pérdida de generalidad, supongamos que es derivable de A B , y x = u v donde u es derivable de A y v es derivable de B . Si u , v tienen las mismas longitudes, entonces debemos tener u $x \in L(G)$$x \in L$$x$$AB$$BA$$AB$$x=uv$$u$$A$$v$$B$$u,v$$u\ne v$ (ya que tienen letras centrales diferentes), entonces $x \notin \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$. So suppose $u,v$ have different lengths, say length $\ell$ and $n-\ell$ respectively. Then their central letters are $u_{(\ell+1)/2}$ and $v_{(n-\ell+1)/2}$. The fact that $u,v$ have different central letters means that $u_{(\ell+1)/2} \ne v_{(n-\ell+1)/2}$. Since $x=uv$, this means that $x_{(\ell+1)/2} \ne x_{(n+\ell+1)/2}$. If we attempt to decompose $x$ as $x=ww'$ where $w,w'$ have the same length, then we'll discover that $w_{(\ell+1)/2} = x_{(\ell+1)/2} \ne x_{(n+\ell+1)/2} = w'_{(\ell+1)/2}$, i.e., $w\ne w'$, so $x \notin \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$. In particular, it follows that $x \in L$.

This language is context free it was proved in the following paper:

Tomaszewski, Zach. "A Context-Free Grammar for a Repeated String." Journal of Information and Computer Science, 2012 (PDF).

The grammar is as follows: