Equivalencia de conjunto independiente y embalaje conjunto

Según Wikipedia, el problema del conjunto independiente es un caso especial del problema del conjunto de conjuntos . Pero, me parece que estos problemas son equivalentes.

El problema de la búsqueda de conjunto independiente es: dado un gráfico y un número entero , encuentre vértices, ninguno de los cuales es adyacente.$G(V,E)$$n$$n$

El problema de búsqueda de Set Packing es: dada una colección finita de conjuntos finitos y un número entero , encuentre conjuntos que están separados por pares.$C$$n$$n$

Creo que son equivalentes en función de la siguiente reducción bidireccional:

→: Dado un problema de conjunto independiente en un gráfico , cree una colección de de conjuntos, donde para cada vértice hay un conjunto contiene todos los bordes adyacentes a . Ahora, cada conjunto de empaque en corresponde a un conjunto de vértices, de los cuales ninguno tiene un borde en común, es decir, este es un conjunto independiente en del mismo tamaño.$G(V,E)$$C$$v \in V$$S_v \in C$$v$$C$$G$

←: Dado un problema de empaquetado en una colección , cree un gráfico donde para cada conjunto hay un vértice , y hay un borde entre y si los conjuntos y cruzan. Ahora, cada conjunto de vértices independientes en corresponde a un conjunto de conjuntos de no se cruzan dos, es decir, este es un conjunto de conjuntos en del mismo tamaño.$C$$G(V,E)$$S \in C$$v_S \in V$$v_{S_1}$$v_{S_2}$$S_1$$S_2$$G$$C$$C$

Mi pregunta es: ¿es correcta mi reducción? Si es así, ¿son equivalentes estos problemas? ¿Es posible usar algoritmos de aproximación para un problema en el otro problema?

El significado exacto de "equivalente" no es obvio, pero usted ha mostrado algo más profundo que la equivalencia normal en las reducciones consideradas para problemas de NP completo.

Has demostrado lo que se conoce como una reducción parsimoniosa entre los dos problemas. Por lo general, las reducciones entre los problemas de NP completo son reducciones de muchos: solo tienen la propiedad de que el problema A tiene solución si, y solo si, el problema B tiene solución. Por ejemplo, cuando reduce 3SAT a 3-Colourability, produce un gráfico $G$ eso es de 3 colores si, y solo si, la fórmula original $\varphi$Es satisfactoria. Sin embargo, si$\varphi$ tiene $N$ variables, el número de asignaciones satisfactorias podría ser cualquier cosa entre cero y $2^N$, inclusive, mientras que el número de 3 colores de cualquier gráfico es un múltiplo de seis debido a las permutaciones del conjunto de colores.

El punto sobre las reducciones parsimoniosas es que son uno a uno. Su reducción establece una biyección entre las soluciones del problema de conjunto independiente y las soluciones del problema de empaquetado de conjunto correspondiente. Las reducciones parsimoniosas son útiles porque preservan la optimización y las versiones (aproximadas) del problema. Por lo tanto, su reducción también muestra que el problema de encontrar el conjunto independiente más grande es tan difícil como encontrar el empaque del conjunto utilizando la mayoría de los conjuntos y que el problema de contar todos los conjuntos independientes es tan difícil como contar todos los empaques del conjunto.

Hay una clase más amplia de reducciones que también preservan el conteo y el conteo aproximado. Estas son las reducciones de preservación de aproximación de Dyer et al.  [1] Estas son reducciones de oráculo y relajan el requisito individual de reducciones parsimoniosas a lo que es, esencialmente, "Si conoce (una aproximación de) una, puede calcular fácilmente (una aproximación de) la otra". En particular, las reducciones de AP pueden abordar fácilmente el factor de $q!$ eso es inherente a cualquier reducción a la $q$-problema de color. Como su nombre indica, las reducciones AP conservan la aproximabilidad, en el sentido de que, si hay una reducción AP de A a B y hay un FPRAS para B, entonces también hay un FPRAS para A.

[1] Dyer, Goldberg, Greenhill, Jerrum. La relativa complejidad de los problemas de conteo aproximado. Algorithmica 38 (3): 471–500, 2003. DOI ; PDF gratis

Ambos problemas son NP completos, por lo que incluso sin verificar sus reducciones, son equivalentes en ese sentido.

Sin embargo, su reducción parece estar bien. Técnicamente, para obtener resultados de aproximación, desea verificar algunas propiedades adicionales de la reducción (no necesariamente difícil de hacer, por ejemplo, en este caso las reducciones de PTAS son de interés). También debe hablar sobre las versiones de optimización de los problemas, en lugar de las versiones de decisión (es decir, pedir la respuesta máxima / mínima, en lugar de la existencia de una de cierto tamaño o más / menos).

De hecho, ya se sabe que tienen una aproximación relacionada. Desafortunadamente, generalmente no tienen buenas aproximaciones. Para ambos problemas (y la camarilla máxima, que también está estrechamente relacionada) hay resultados de inaproximabilidad, siendo el principal la imposibilidad de aproximación con $|V|^{1-\varepsilon}$ para cualquier $\varepsilon > 0$ (a menos que NP = ZPP), que es tan malo como parece.

Si está buscando clases restringidas de gráficos, es posible que pueda encontrar algo interesante. Para leer más, lo remito al compendio inestimablemente útil de Viggo Kann:

1. Max Set Packing
2. Max conjunto independiente
3. Max Clique