Lema de bombeo para idiomas regulares finitos simples

Wikipedia tiene la siguiente definición del lema de bombeo para idiomas regulares ...

Deje que sea ​​un lenguaje regular. Entonces existe un número entero ≥ 1 que depende solo de modo que cada cadena en de longitud al menos ( se llama "longitud de bombeo") se puede escribir como = (es decir, se puede dividir en tres subcadenas), que cumplan las siguientes condiciones:p L w L p p w x y z $L$$p$$L$$w$$L$$p$$p$$w$$xyz$$w$

1. El | | ≥ 1$y$
2. El | | ≤$xy$$p$
3. para todo ≥ 0, ∈x y i z $i$$xy^iz$$L$

No veo cómo esto se satisface para un lenguaje regular finito simple. Si tengo un alfabeto de { } y la expresión regular entonces consta de sólo una palabra que se seguida por . Ahora quiero ver si mi lenguaje normal satisface el lema de bombeo ...a b L a $a,b$$ab$$L$$a$$b$

Como nada se repite en mi expresión regular, el valor de debe estar vacío para que la condición 3 se satisfaga para todo . ¡Pero si es así, falla la condición 1 que dice que debe tener al menos 1 de longitud!i $y$$i$$y$

Si, en cambio, dejo que sea , o , satisfará la condición 1 pero fallará la condición 3 porque en realidad nunca se repite.a b a $y$$a$$b$$ab$

Obviamente me estoy perdiendo algo increíblemente obvio. ¿Cual es?

Tienes razón: no podemos permitir palabras de "bombeo" de una finita . Lo que falta es que el lema dice que existe un número p , pero no nos dice el número.$L$$p$

Todas las palabras más largas que pueden ser bombeadas, por el lema. Para una finita L , sucede de manera que p es mayor que la longitud de la palabra más larga en L . Por lo tanto, el lema solo se mantiene vacío, y no se puede aplicar a ninguna palabra en L , es decir, cualquier palabra en L no cumple la condición de "tener una longitud de al menos p " como lo requiere el lema.$p$$L$$p$$L$$L$$L$$p$

Un corolario: si tiene una longitud de bombeo p , y existe alguna palabra w ∈ L de longitud al menos p , entonces L es infinito.$L$$p$$w\in L$$p$$L$

El lema de bombeo generalmente se usa en idiomas infinitos, es decir, idiomas que contienen un número infinito de palabras. Para cualquier lenguaje finito , dado que siempre puede ser aceptado por un DFA con un número finito de estado, L debe ser regular.$L$$L$

Según wikipedia ( http://en.wikipedia.org/wiki/Pumping_lemma_for_regular_languages#Formal_statement ), el lema de bombeo dice: $\begin{array}{l} (\forall L\subseteq \Sigma^*) \\ \quad (\mbox{regular}(L) \Rightarrow \\ \quad ((\exists p\geq 1) ( (\forall w\in L) ((|w|\geq p) \Rightarrow \\ \quad\quad ((\exists x,y,z \in \Sigma^*) (w=xyz \land (|y|\geq 1 \land |xy|\leq p \land (\forall i\geq 0)(xy^iz\in L)))))))) \end{array}$

Para cualquier lenguaje finito , dejemos que l m a x sea ​​la longitud máxima de las palabras en L , y dejemos que p en el lema de bombeo sea l m a x + 1 . El lema de bombeo se mantiene ya que no hay palabras en L cuya longitud ≥ l m a x + 1 .$L$$l_{max}$$L$$p$$l_{max}+1$$L$$\geq l_{max}+1$

Una forma de formalizar la parte central del lema de bombeo es esta, utilizando :$L^{\geq k} = \{ w \in L \mid |w| \geq k\}$

Si es regular, existe p ∈ N para que$L$$p \in \mathbb{N}$

(*).$\qquad \displaystyle \forall w \in L^{\geq p}.\ \exists x,y,z \dots$

Para todos finita y P > max { | w | ∣ w ∈ L } , obviamente tenemos que L ≥ p = ∅ . Por lo tanto (*) es (al vacío) verdadero para tal p .$L$$p > \max \{ |w| \mid w \in L\}$$L^{\geq p} = \emptyset$$p$