¿Hay una TM que se detiene en todas las entradas pero esa propiedad no es demostrable?

17

¿Existe una máquina de Turing que se detiene en todas las entradas pero esa propiedad no es demostrable por alguna razón?

Me pregunto si esta pregunta ha sido estudiada. Tenga en cuenta que "no demostrable" podría significar un sistema de prueba "limitado" (que en el sentido débil piensa que la respuesta debe ser sí). Por supuesto, estoy interesado en la respuesta más fuerte posible, es decir, una que no se pueda detener en todas las entradas en la teoría de conjuntos ZFC o lo que sea.

Se me ocurrió que esto podría ser cierto para la función de Ackermann, pero estoy confuso en los detalles. No parece que Wikipedia describa este aspecto claramente.

— vzn
fuente

3

La aritmética de Peano es suficiente para demostrar que la función de Ackermann es total: este es el ejercicio 17 de la Introducción a las notas de PA de Jaap van Oosten .

— David Richerby

total computable fn defn wikipedia. tenga en cuenta que esta pregunta fue motivada en parte al mirar el collatz fn donde es una pregunta abierta larga relacionada ...

— vzn

2

Esta es una observación tonta, pero tenga en cuenta que para cada máquina de Turing M que termina en todas las entradas, la teoría

es una teoría consistente. Pero usando el teorema de Gödels podemos demostrar que no existe una teoría recursiva única que pueda probar la terminación de todas esas máquinas.

P A + " M terminates on all input"

$\mathrm{PA}+\mbox{"$M$ terminates on all input"}$

— cody

12

Si. La máquina de Turing que calcula la secuencia de Goodstein a partir de su entrada y termina cuando la secuencia llega a cero. Siempre termina pero esto no se puede probar en la aritmética de Peano. Estoy seguro de que hay cosas equivalentes para ZFC o cualquier otro sistema que pueda elegir.

Editar Para ZF, Hartmanis y Hopcroft muestran que hay una máquina Turing que rechaza cada entrada pero que esto no se puede probar en ZF. No estoy seguro de si ZF puede probar que siempre se detiene, pero ciertamente no puede probar que la máquina "Si acepta entonces el bucle para siempre, de lo contrario se detendrá" siempre se detiene, aunque lo haga. Eso todavía deja ZFC abierto, pero ZF es más poderoso que PA. $M$ $M$ $M'(x)$ $=$ $M$ $x$

Ver Sec. 3 de la encuesta de Scott Aaronson sobre la independencia de P = NP para una exposición del resultado de Hartmanis-Hopcroft y citas de sus documentos originales.

— David Richerby
fuente

Acerca de agregar el axioma de elección: ZFC no puede hacerlo mejor que ZF para declaraciones "simples" como un problema de detención (en este caso

si no me equivoco). Esto se debe a que ZF y ZFC prueban exactamente las mismas declaraciones

.

Π_{2}^{0}

$\Pi^0_2$

Π_{2}^{0}

$\Pi^0_2$

— cody

6

Tome una teoría que sea al menos tan fuerte como la aritmética "básica", y que sea recursivamente enumerable (es posible enumerar todos los teoremas de ). ${\cal T}$ ${\cal T}$

Construya la siguiente máquina , que se comporta como sigue en la entrada : $M$ $n$

If there is no proof of 0 = 1 in less than n steps in T, ACCEPT
Otherwise, LOOP.

Es bastante fácil mostrar usando el segundo teorema de incompletitud que no puede probar que termina en todas las entradas (si es consistente). ${\cal T}$ $M$

Por supuesto, esto funciona para , , , ... siempre que sean consistentes. ${\cal T}=\mathrm{ZFC}$ ${\cal T}=\mathrm{PA}$ ${\cal T}=\mathrm{PA²}$

— cody
fuente

5

$N$

— Daniil
fuente