) algoritmo para el problema K-clique

El problema de la camarilla es un conocido completo donde el tamaño de la camarilla requerida es parte de la entrada. Sin embargo, el problema k-clique tiene un algoritmo de tiempo polinómico trivial ( cuando es constante). Estoy interesado en los límites superiores más conocidos cuando k es constante.$NP$$O(n^k)$$k$

¿Existe un algoritmo con tiempo de ejecución ? Un algoritmo de tiempo también es aceptable. Además, ¿hay alguna consecuencia teórica de la complejidad para la existencia de tales algoritmos?$O(n^{k-1})$$o(n^k)$

Se puede encontrar una camarilla 3 en un gráfico de -vértices G en el tiempo O ( n ω ) , donde ω < 2.376 es el exponente de multiplicación de la matriz, y en el espacio O ( n 2 ) por un resultado de Itai y Rodeh [1] . Básicamente, muestran que G contiene un triángulo si y solo si ( A ( G ) ) 3 tiene una entrada distinta de cero en su diagonal principal. Porque un triángulo también es un ciclo C $n$$G$$O(n^\omega)$$\omega < 2.376$$O(n^2)$$G$$(A(G))^3$$C_3$, se pueden usar métodos generales de búsqueda de ciclos para detectar triángulos. Alon, Yuster y Zwick muestran cómo se pueden detectar triángulos en un gráfico de bordes en O ( m 2 ω / ( ω + 1 ) ) = O ( m 1.41 ) tiempo [6].$m$$O(m^{2\omega/(\omega+1)}) = O(m^{1.41})$

Durante mucho tiempo, el resultado de Nesetril y Poljak [2] fue el más conocido; mostraron que el número de camarillas de tamaño se puede encontrar en el tiempo O ( n ω k ) y O ( n 2 k ) espacio. Finalmente, Eisenbrand y Grandoni [3] mejoraron el resultado de Nesetril y Poljak para una camarilla ( 3 k + 1 ) y una camarilla ( 3 k + 2 ) para valores pequeños de k . Específicamente, dieron algoritmos para encontrar camarillas de tamaño 4, 5 y 7 en el tiempo $3k$$O(n^{\omega k})$$O(n^{2k})$$(3k+1)$$(3k+2)$$k$ , O ( n 4.220 ) y O ( n 5.714 ) , respectivamente.$O(n^{3.334})$$O(n^{4.220})$$O(n^{5.714})$

$k$$k$$k$$W[1]$$W[1]$$k$$k \approx \log n$

$G$$O(n+m)$$k$$O(n)$

[1] Itai, Alon y Michael Rodeh. "Encontrar un circuito mínimo en un gráfico". SIAM Journal on Computing 7.4 (1978): 413-423.

[2] Nešetřil, Jaroslav y Svatopluk Poljak. "Sobre la complejidad del problema del subgrafo". Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae 26.2 (1985): 415-419.

[3] Eisenbrand, Friedrich y Fabrizio Grandoni. "Sobre la complejidad de la camarilla de parámetros fijos y el conjunto dominante". Informática teórica 326.1 (2004): 57-67.

[4] Downey, RG y Michael R. Fellows. "Fundamentos de la complejidad parametrizada". Textos no graduados en informática, Springer-Verlag (2012).

[5] Feige, Uriel y Kilian, Joe. "Sobre limitado no polinomial no determinismo". Chicago Journal of Theoretical Computer Science. (1997)

[6] Alon, Noga, Raphael Yuster y Uri Zwick. "Encontrar y contar ciclos de longitud dados". Algorithmica 17.3 (1997): 209-223.