Por que usar

Se sabe que las lógicas temporales LTL, CTL, CTL * se pueden traducir / incrustar en el cálculo . En otras palabras, el cálculo (modal) subsume estas lógicas (es decir, es más expresivo).$\mu$$\mu$

¿Podría por favor explicarme / señalarme artículos / libros que detallen este asunto? En particular, ¿hay propiedades concretas de equidad, vitalidad, etc. que no se puedan expresar en la lógica temporal sino en el cálculo ?$\mu$

En cuanto a un $\mu$-cálculo fórmula no expresable en CTL *, vea esta publicación .

En cuanto a los textos sobre el tema, es probable que avance más leyendo documentos, ya que estos temas no están cubiertos en muchos libros. Aún así, el Manual de la lógica modal puede ser un buen comienzo.

En cuanto a los documentos, intente:

Poder expresivo de la lógica temporal

Esta tesis doctoral

Comprobación del modelo de Emerson y el cálculo Mu

Y hay muchos más. Solo términos de google como "poder expresivo", "cálculo mu" y "lógica temporal".

los $\mu$-cálculo es estrictamente más expresivo que LTL, CTL y CTL *. Esto es consecuencia de algunos resultados diferentes.

El primer paso es demostrar que el $\mu$El cálculo es tan expresivo como la lógica temporal. La idea principal para codificar estas lógicas proviene de reconocer las propiedades temporales como puntos fijos. En un nivel muy informal, los puntos menos fijos le permiten expresar propiedades de naturaleza finitaria y los puntos fijos más grandes se aplican a propiedades infinitas. Por ejemplo, eventualmente$\varphi$ en LTL define que hay un instante en el futuro finito en el que $\varphi$es cierto, mientras que siempre$\varphi$ Establece que $\varphi$es cierto en un número infinito de pasos de tiempo futuros. En términos de puntos fijos, la propiedad eventualmente se expresaría usando un punto fijo mínimo y la propiedad siempre usando un punto fijo máximo. Siguiendo esa intuición, los operadores temporales pueden codificarse como operadores de punto fijo.

El siguiente paso es demostrar que el $\mu$-El cálculo es más expresivo. La idea principal es la profundidad de alternancia. Los puntos fijos se alternan si un punto menos fijo influye en el punto fijo más grande, y viceversa. La profundidad de alternancia de un$\mu$-la fórmula de cálculo cuenta el número de alternancias que ocurren en ella. Los operadores en CTL pueden ser codificados por$\mu$-cálculos con profundidad de alternancia $1$. Los operadores en CTL * y LTL pueden ser codificados por$\mu$- fórmulas de cálculo con profundidad de alternancia como máximo $2$. Sin embargo, la jerarquía de alternancia de la$\mu$-cálculo es estricto, lo que significa que aumentar la profundidad de alternancia en una fórmula le permite expresar estrictamente más propiedades. Es por eso que la gente dice$\mu$El cálculo es más expresivo que estas lógicas temporales.

Algunas referencias:

1. Los argumentos iniciales de que el $\mu$-cálculo subsume varias lógicas que aparecen en Modalidades para la verificación del modelo: La lógica del tiempo de ramificación contraataca , Emerson y Lei, 1985.
2. La traducción de CTL al $\mu$-cálculo es sencillo. Puede encontrarlo en el libro sobre Model Checking de Clarke, Grumberg y Peled. También puede encontrarlo en Model Checking y en$mu$-cálculo de Emerson o en la disertación de Ken McMillan.
3. La traducción de CTL * al $\mu$-cálculo está involucrado. En lugar de la traducción indirecta original, sugiero el artículo de Mads Dam sobre la traducción de CTL * al cálculo modal modal .
4. Hay una traducción más simple de LTL a lo que se llama el tiempo lineal $\mu$-cálculo, en el que las modalidades operan sobre rastros y no estados. Vea Axiomatising Linear Time Mu-calculus por Roope Kaivola.
5. La jerarquía de alternancia se estudia en La jerarquía de alternancia modal de cálculo mu es estricta por Julian Bradfield y en Un teorema de jerarquía para$\mu$-cálculo de Giacomo Lenzi.

Todo esto se trata de expresividad, no de utilidad. En la práctica, las personas no suelen especificar propiedades como$\mu$-expresiones de cálculo porque podrían encontrar lógicas temporales más fáciles de trabajar. Los lenguajes de especificación industrial difieren tanto de la lógica temporal como de la$\mu$-cálculo en su sintaxis y su poder expresivo.

Es bien sabido que $\mu$-calculi puede expresar propiedades que "cuentan módulo a constante", por ejemplo, " todos los pasos pares visitan un$A$-state "que es capturado por algo como$\mu X.A \land\Box\Box X$. Dichas propiedades no se pueden establecer con las modalidades TL estándar Hasta y Siguiente, ya que estas modalidades son definibles de primer orden. Ver el artículo de 1983 de DC Kozen .