Espacio de estado accesible de un 8 rompecabezas

¡Acabo de comenzar a estudiar Inteligencia Artificial y me pregunto por qué el espacio de estado alcanzable de un 8 rompecabezas es $9!/2$ . ¡Veo que el número de permutaciones de las fichas es $9!$ pero no es inmediatamente obvio por qué la mitad de los posibles estados del rompecabezas son inalcanzables en cualquier estado dado. ¿Alguien puede dar más detalles?

Una imagen de un rompecabezas de 8 para referencia con una configuración aleatoria a la izquierda y el estado del objetivo a la derecha:

Muestra de 8 rompecabezas

artificial-intelligence

— Leva
fuente

Debido a que el gráfico de estado consta de dos componentes desconectados de igual tamaño (el número total de inversiones de permutación de cada estado es invariante módulo 2, por lo que dos estados que tienen un número total de inversiones de permutación impares y pares no están conectados); No encontré un ejemplo bien explicado, pero esta presentación debería ser lo suficientemente clara como para permitirle entenderlo (excepto el error tipográfico "conectado" que debería reemplazarse por "desconectado")

— Vor

@Vor convertir en una respuesta?

— Yuval Filmus

Esta es una expansión de esta presentación .

$1\;2\;3\;...\;15\;\Box$

 1  2  3  4
 5  6  7  8
 9 10 11 12
13 14 15  *

$S$ $T_i$ $T_j$ $i < j$ $T_i$ $T_j$ $T_i$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 3  .  .  1      .  7  .  .
 .  .  .  .      .  5  .  .
 .  .  .  .      .  .  .  .
    (a)             (b)

$N_j$ $T_i$ $i < j$ $T_j$

 1  2  3  4
 5 10  7  8
 9  6 11 12
13 14 15  *

$T_{7}$ $T_6$ $N_7=1$ $T_{10}$ $T_7, T_8, T_9, T_6$ $N_{10}=4$

$N$ $N_i$ $T_{\Box}$

N = \sum_{i = 1}^{15} N_{i} + r o w (T_{◻})

$N = \sum_{i=1}^{15} N_i + row(T_{\Box})$

$N = N_7 + N_8 + N_9 + N_{10} + row(T_{\Box}) = 1 + 1 +1 + 4 + 4=11$

$N$ $N$

Por ejemplo:

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  2  3      .  .  *  3
 4  5  *  .      4  5  2  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 3 \mbox{ (2 is placed after 3,4,5)} - 1 \mbox{ (empty tile is moved up)} = N + 2$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  *  4      .  .  3  4
 2  5  3  .      2  5  *  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 1 \mbox{ (2 is placed after 3)} - 2 \mbox{ (4,5 are placed after 3)} + 1 \mbox{ (empty tile is moved down)} = N$

$N \bmod 2$

Podemos concluir que el espacio de estado se divide en dos mitades desconectadas , una con y la otra con . $N \bmod = 0$ $N \mod 2 = 1$

Por ejemplo, los siguientes dos estados no están conectados:

 1  2  3  4     1  2  3  4
 5  6  7  8     5  6  7  8
 9 10 11 12     9 10 11 12
13 14 15  *    13 15 14  *  
    N = 4         N = 5

— Vor
fuente

Este es el caso de un rompecabezas de 15 pero parece que el resultado puede generalizarse también para un rompecabezas de 8. ¡Gracias!

— Cam