¿Cuál es el algoritmo más rápido para la multiplicación de dos números de n dígitos?

Quiero saber qué algoritmo es más rápido para la multiplicación de dos números de n dígitos. ¡La complejidad del espacio se puede relajar aquí!

A partir de ahora, el algoritmo de Fürer de Martin Fürer tiene una complejidad temporal de que utiliza transformadas de Fourier sobre números complejos. Su algoritmo se basa en realidad en el algoritmo de Schönhage y Strassen que tiene una complejidad temporal de Θ ( n log ( n ) log ( log ( n ) ) $n \log(n)2^{Θ(log*(n))}$$Θ(n\log(n)\log(\log(n)))$

Otros algoritmos que son más rápidos que el algoritmo de multiplicación de la escuela primaria son la multiplicación Karatsuba que tiene una complejidad temporal de ≈ y el algoritmo Toom 3 que tiene una complejidad temporal deO ( n 1.585 ) Θ ( n 1.465$O(n^{\log_{2}3})$$O(n^{1.585})$$Θ(n^{1.465})$

Tenga en cuenta que estos son los algoritmos rápidos. Encontrar el algoritmo más rápido para la multiplicación es un problema abierto en informática.

Referencias

1. Algoritmo de Fürer
2. Multiplicación basada en FFT de números grandes
3. Transformada rápida de Fourier
4. Multiplicación Toom-Cook
5. Algoritmo de Schönhage-Strassen
6. Algoritmo Karatsuba

Tenga en cuenta que los algoritmos FFT enumerados por avi agregan una constante grande, lo que los hace poco prácticos para números menores a miles + bits.

Además de esa lista, hay algunos otros algoritmos interesantes y preguntas abiertas:

• Multiplicación de tiempo lineal en un modelo RAM (con precomputación)
• La multiplicación por una constante es sublineal ( PDF ): esto significa un número sublineal de adiciones que obtiene un total decomplejidad de bits. Esto es esencialmente equivalente a la multiplicación larga (donde se desplaza / suma en función del número des en el número inferior), que es, pero con unaceleración.$\mathcal{O}\left(\frac {n^2} {\log n} \right)$$1$$\mathcal{O}\left({n^2} \right)$$\mathcal{O}\left(\log n\right)$
• Sistema de numeración de residuos y otras representaciones de números; La multiplicación es tiempo casi lineal. La desventaja es que la multiplicación es modular y {la detección de desbordamiento, la paridad, la comparación de magnitud} son tan difíciles o casi tan difíciles como convertir el número a una representación binaria o similar y hacer la comparación tradicional; esta conversión es al menos tan mala como la multiplicación tradicional (por el momento, AFAIK).
  • Otras representaciones:
    • [ Representación logarítmica ]: la multiplicación es la suma de la representación logarítmica. Ejemplo: $$16 \times 32 = 2^{\log_2 16 + \log_2 32} = 2^{4+5} = 2^{9}$$
      • La desventaja es que la conversión hacia y desde la representación logarítmica puede ser tan difícil como la multiplicación o más difícil, la representación también puede ser fraccional / irracional / aproximada, etc. Es probable que otras operaciones (¿suma?) Sean más difíciles.
    • Representación canónica : representa los números como exponentes de la factorización prima. La multiplicación es la suma de los exponentes. Ejemplo: $$36 \times 48 = 3^2\cdot 5^1\times 2^{2}\cdot 3^1\cdot 4^1 = {2^2}\cdot {3^2} \cdot 4^1 \cdot 5^1$$
    • La desventaja es, requiere factores, o factorización, un problema mucho más difícil que la multiplicación. Otras operaciones como la suma son probablemente muy difíciles.