¿Versión restringida del problema Clique?

Considere la siguiente versión del problema Clique donde la entrada es de tamaño se nos pide que encontremos una camarilla de tamaño . La restricción es que el procedimiento de decisión no puede cambiar el gráfico de entrada en ninguna otra representación y no puede usar ninguna otra representación para calcular su respuesta, que no sea bits adicionales más allá del gráfico de entrada. Los bits adicionales se pueden usar, por ejemplo, en el algoritmo de fuerza bruta para realizar un seguimiento del estado de la búsqueda exhaustiva de una camarilla, pero el procedimiento de decisión es bienvenido para usarlos de cualquier otra manera que aún decida el problema. $n$ $k$ $\log(n^k)$

¿Se sabe algo en este momento sobre la complejidad de esto? ¿Se ha trabajado en otras restricciones de Clique, y si es así, podría dirigirme a ese trabajo?

complexity-theory time-complexity

— Persona tímida
fuente

¿Pretende que la constante

sea igual al tamaño de la camarilla

k

$k$

\lg n^{k}

$\lg n^k$

k

$k$

— Lucas Cook,

@LucasCook Sí.

— ShyPerson

Parece que te estás preguntando si el problema de la camarilla completa de NP se puede resolver en el espacio logarítmico. Con las máquinas de Turing, una cinta es de solo lectura y almacena el gráfico de entrada. La otra cinta está limitada por lo que hay espacio disponible para alguna constante . La clase de problemas que se pueden resolver en este modelo se conoce como , espacio logarítmico determinista. (Ver wikipedia o en el zoológico de complejidad ) $c \lg n$ $c$ $L$

No se sabe si , pero una respuesta positiva implicaría que , por lo que usted (¿casi seguro?) No encontrará una respuesta. $\mathrm{CLIQUE} \in L$ $P = NP$ $L \subseteq P \subseteq NP$ y implica , lo que implica . $\mathrm{CLIQUE} \in L$ $\mathrm{CLIQUE} \in P$ $P = NP$

Edite en caso de que haya malinterpretado el problema:

Si tiene la intención de que el en sea el mismo que el tamaño de la camarilla (es decir, la cantidad de memoria se escala con la entrada ), entonces hay un algoritmo simple de fuerza bruta: puede recorrer todos los conjuntos posibles de nodos y compruebe si forman una -clique. Un punto de partida para buscar mejores soluciones podrían ser las referencias de [1]. $k$ $\lg n^k = k \lg n$ $k$ $k$ $k$ $k$

[1] Virginia Vassilevska, enlace pdf "Algoritmos eficientes para problemas de camarilla"

— Lucas Cook
fuente

@ShyPerson Ok. La cadena de entrada a menudo es inmutable en modelos con espacio restringido (como TM de espacio sublineal en

), por lo que podría ser un buen lugar para buscar. No estoy seguro de una forma formal de decir que "no se puede hacer otra representación" además de limitar el espacio. Si se me permite el espacio para hacer otra copia de

, ¿qué constituye exactamente otra representación? ¿Qué sucede si "accidentalmente" construyo una representación suficiente para un gráfico particularmente escaso o compresible?

L

$L$

N L

$NL$

G

$G$

— Lucas Cook,

k C L I Q U E

$\mathrm{kCLIQUE}$ no es NP-complete! (a menos que

)

P = N P

$\mathrm{P}= \mathrm{NP}$

— Alex ten Brink

@AlextenBrink ¿Quiere decir que kCLIQUE es el problema de la función? Cambié el nombre a CLIQUE arriba (¡siempre los confundo!), Pero me resulta extraño decir que kCLIQUE está en NP si te refieres al problema de la función.

— Lucas Cook,

searchProblema significado , en este caso.

— Lucas Cook,

es el problema de

para

fijo, mientras que

tiene

como parte de la entrada. Al marcar todas las subgrafías de tamaño

tiene unalgoritmo

, que es polinomial si

es fijo pero superpolinómico si, por ejemplo,

k C L I Q U E

$\mathrm{kCLIQUE}$

C L I Q U E

$\mathrm{CLIQUE}$

k

$k$

C L I Q U E

$\mathrm{CLIQUE}$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k})

$O(n^k)$

k

$k$

k = Θ (n)

$k=\Theta(n)$

— Alex ten Brink