Teoremas de puente para teoría de grupos y lenguajes formales.

¿Hay alguna forma natural o notable de relacionar o vincular grupos matemáticos y lenguajes formales de CS o algún otro concepto central de CS, por ejemplo, máquinas de Turing?

Estoy buscando referencias / aplicaciones. Sin embargo, tenga en cuenta que conozco el vínculo entre los semigrupos y los lenguajes CS (es decir, a través de autómatas finitos ). (¿Esta literatura sobre semiautomas alguna vez se refiere a "autómatas grupales"?)

Hace muchos años, vi un artículo que podría acercarse, que convierte las tablas de transición de TM en una operación binaria, posiblemente a veces un grupo en algunos casos, posiblemente basado en algún tipo de simetría en la tabla de estado de TM. No exploró eso en particular, pero tampoco lo descartó.

Además, en particular, con respecto al gran cuerpo de investigación matemática sobre clasificación de grupos finitos , ¿tiene o podría tener algún significado o interpretación en TCS? ¿Cuál es la visión de "lente algorítmica" de este edificio masivo de investigación matemática? ¿Qué está "diciendo" sobre una posible estructura oculta en la computación?

Esta pregunta se inspira en parte en algunas otras notas, por ejemplo:

• Uso de estructuras algebraicas en TCS

• RJ Lipton sobre el teorema de Gromov

Permítanme responder primero a su pregunta: ¿La literatura sobre semiautomas alguna vez analiza "autómatas grupales"? . La respuesta es sí. En su libro (Autómatas, idiomas y máquinas. Vol. B, Academic Press), S. Eilenberg describió los idiomas regulares reconocidos por grupos conmutativos finitos y grupos . Se conocen resultados similares para grupos nilpotentes finitos, grupos solubles y grupos supersolubles.$p$

Los grupos finitos también juegan un papel importante en el problema de encontrar un conjunto completo de identidades para expresiones regulares. John Conway propuso un conjunto completo infinito y esta conjetura finalmente fue probada por D. Krob. Hay un número finito de identidades "básicas", más una identidad para cada grupo simple finito . Vea mi respuesta a esta pregunta para referencias.

En la dirección opuesta, la teoría de autómatas finitos conduce a una prueba elemental de resultados básicos en la teoría de grupos combinatorios, como la fórmula de Schreier. Basado en el artículo seminal de Stallings, Topología de gráficos finitos .

También en la dirección opuesta, los grupos automáticos se definen en términos de autómatas finitos.

Los grupos profinitas también juegan un papel importante en la teoría de autómatas. Un ejemplo es la caracterización de los lenguajes regulares reconocidos por autómatas reversibles de transición con posiblemente varios estados iniciales y finales.

Para una conexión muy agradable entre lenguajes, grupos y lógica sin contexto, vea el artículo de David E. Muller y Paul E. Schupp, Lenguajes, grupos sin contexto, teoría de los fines, lógica de segundo orden, problemas de mosaico, celular autómatas y sistemas de adición de vectores .

$^1$$S_5$$A_5$ Circuitos de protección con grupos de Miles y Viola (2012).

Con respecto a la clasificación de los grupos simples finitos, que yo recuerde, se usa implícitamente en algunos algoritmos para el isomorfismo de grupo, un problema relacionado con el isomorfismo de grafos.

$g_1, ..., g_m$$a_1 = b_1, ..., a_n = b_n$$x, y \in \{g_1, ..., g_m\}^*$$\{g_1, ..., g_m\}$$x = y$ .

Hay muchos resultados profundos que dan condiciones para las clases de grupos que tienen problemas de palabras solucionables. También es interesante estudiar la complejidad de decidir problemas de palabras (para clases de grupos que tienen un problema de palabras decidible), ver, por ejemplo, aquí .

Con Google, encontré el artículo Monoides profínicos relativamente gratuitos: una introducción y ejemplos, en Semigroups, Formal Languages ​​and Groups por Jorge Almeida (traducción al inglés en Journal of Mathematical Sciences , 144 (2): 3881–3903, 2007) en este tema.