Aproximación asintótica de una relación de recurrencia (Akra-Bazzi no parece aplicarse)

Supongamos que un algoritmo tiene una relación de recurrencia en tiempo de ejecución:

$T(n) = \left\{ \begin{array}{lr} g(n)+T(n-1) + T(\lfloor\delta n\rfloor ) & : n \ge n_0\\ f(n) & : n < n_0 \end{array} \right.$

para alguna constante . Suponga que es polinomial en , quizás cuadrático. Lo más probable es que sea exponencial en . $0 < \delta < 1$ $g$ $n$ $f$ $n$

¿Cómo se podría analizar el tiempo de ejecución ( sería excelente)? El teorema maestro y el método más general de Akra-Bazzi no parecen aplicarse. $\Theta$

asymptotics recurrence-relation

— Austin Buchanan
fuente

Encontrar un buen límite inferior es fácil, pero encontrar un buen límite superior es difícil, pero en términos generales parece estar cerca de .

T (n) = a \cdot T (n / a) + g (n)

$T(n) = a\cdot T(n/a) + g(n)$

Si todavía está buscando una respuesta, debe consultar Graham, Knuth y Patashnik, "Matemáticas concretas".

— Kaveh

Suponiendo que es constante, no necesitamos ninguna suposición sobre , ¿o sí?

n_{0}

$n_0$

f

$f$

— Raphael

El parámetro puede ser específico de la instancia. Sería bueno ver cómo el tiempo de ejecución depende de .

n_{0}

$n_0$

n_{0}

$n_0$

— Austin Buchanan

Hice una pregunta relacionada que, hasta ahora, no ha presentado ningún teorema general para las recurrencias de este tipo.

— Raphael

Un posible enfoque podría ser por analogía con las ecuaciones diferenciales. Deje . Aquí es un análogo discreto de la primera derivada de . Obtenemos la siguiente relación: El análogo continuo de esto es la ecuación diferencial o, si prefiere verla escrita de manera diferente: Esa es una ecuación diferencial. $T'(n) = T(n)-T(n-1)$ $T'(n)$ $T(n)$

T^{'} (n) = T (⌊ δ n ⌋) + g (n) .

$T'(n) = T(\lfloor \delta n \rfloor) + g(n).$

t^{'} (x) = t (δ x) + g (x),

$t'(x) = t(\delta x) + g(x),$

\frac{d}{d x} t (x) = t (δ x) + g (x) .

${d \over dx} t(x) = t(\delta x) + g(x).$

Ahora podría intentar resolver la ecuación diferencial para la función continua , luego plantear la hipótesis de que una función similar será la solución a su relación de recurrencia original e intentar demostrar su hipótesis. Al menos, este es un enfoque general que podría seguir. $t(x)$

He olvidado todo lo que una vez supe sobre las ecuaciones diferenciales, por lo que no conozco la solución de esa ecuación diferencial, pero tal vez puedas resolverla revisando todas las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales.

— DW
fuente

Donald J. Newman parece haber usado esta técnica con frecuencia, con excelentes resultados.

— Aryabhata

Sin mirar más lejos. No es fácil resolver esa ecuación diferencial. No estoy demasiado convencido de que tenga una solución de forma cerrada después de probar algunas formas básicas para .

t (x)

$t(x)$

— InformadoA