Funciones continuas de Scott: una definición alternativa

Realmente estoy luchando con esta propiedad:

Deje que sea espacios de coherencia y es una función monótona. es continuo si y solo si , para todos modo que D es un conjunto dirigido.$X,Y$f f ( ⋃ x ∈ D x ) = ⋃ x ∈ D f ( x ) D ⊆ C l ( X ) $f: Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$$f$$f(\bigcup_{x\in D} x)=\bigcup_{x \in D}f(x)$$D \subseteq Cl(X)$$D$

El conjunto dirigido se define así: $D \subseteq$ POSET es un conjunto dirigido iff \ forall x, x '\ in D \ exist z \ in D tales x \ subseteq z y x' \ subseteq z . Cl (X) representa camarillas de X: \ {x \ subseteq | X | \ mid a, b \ in x \ Rightarrow una coherente b \} .∃ z ∈ $\forall x, x' \in D$ $\exists z \in D$$x \subseteq z$$x' \subseteq z$
$Cl(X)$$\{x \subseteq |X| \mid a,b \in x \Rightarrow a$$b \}$

Muchos libros dan eso como una definición de las funciones continuas de Scott , pero desafortunadamente no es mi maestro. Nos dio esta definición de continuo:

$f : Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$ es continuo si es monótono y $\forall x \in Cl(X), \forall b \in f(x), \exists x_0 \subseteq_{fin} x, b \in f(x_0)$ ,
donde monotone se define como: $f$ es monotone iff $a \subseteq b \Rightarrow f(a) \subseteq f(b)$

Esta es la prueba propuesta que tengo, pero no puedo entender la última ecuación.

La prueba de $f$ continua implica $f(\bigcup D)=\bigcup f(D)$ :
Sea $b \in f(\bigcup D)$ . Según la definición de continuidad, $\exists x_0 \subset_{fin} x \mid b \in f(x_0)$ . Tenga en cuenta que $x_0$ es la unión de $\{ x_i \mid x_i \in D\}$ .
Si $D$ es directo, entonces: $\exists z \in D \mid x_i \subseteq z$ entonces $x_0 \subseteq z$ . Según la definición de monotonía, $f(x_0)\subseteq f(z)$ por lo que $b \in f(z)$ (???) $\subseteq \bigcup f(D)$ . E incluso eso es cierto, debemos mostrar que $\bigcup f(D) = f(\bigcup D)$ , no solo$\subseteq$ .

La prueba de la otra implicación es aún peor, así que no puedo escribirla aquí ... ¿Puede explicarme cómo puede funcionar la prueba?

La definición de continuidad utilizada por su maestro es la mejor. Te dice muy concretamente qué significa continuidad.

Supongamos que . Eso significa que, dada toda la información de x , posiblemente un conjunto infinito de tokens (átomos), la función produce algún elemento que tiene la información atómica b . (También podría tener otra información, pero no estamos interesados ​​en eso en este momento). La definición de su maestro dice que no es necesario mirar toda la información infinita de x para producir la información de salida b . Algún subconjunto finito de x es suficiente para producirlo.$b \in f(x)$$x$$b$$x$$b$$x$

(El libro de Melvin Fitting "Teoría de la computabilidad, semántica y programación lógica", Oxford, 1987, llama a esta propiedad compacidad y define una función continua como monótono y compacto).

Esta es la esencia de la continuidad. Para obtener una cantidad finita de información sobre la salida de una función, solo necesita una cantidad finita de información sobre la entrada. La salida producida por la función para una entrada infinita se obtiene juntando la información que produce para todas las aproximaciones finitas de la entrada infinita. En otras palabras, no obtienes ningún salto mágico al pasar de las aproximaciones finitas a su unión infinita. Cualquier cosa que obtengas en el infinito, ya deberías llegar a una etapa finita.

La ecuación estándar es bonita de ver, pero no te dice toda la intuición que he explicado anteriormente. Sin embargo, matemáticamente, es equivalente a la definición de tu maestro.$f(\bigcup_{x \in D} x) = \bigcup_{x \in D} f(x)$

Para mostrar que , es suficiente para mostrar que f ( x ) se incluye en f ( ⋃ x ∈ D x ) , para cada x ∈ D . Pero eso se deduce directamente de la monotonicidad de f porque x ⊆ ⋃ x ∈ D x . Entonces, esta es la dirección "fácil".$\bigcup_{x \in D} f(x) \subseteq f(\bigcup_{x \in D} x)$$f(x)$$f(\bigcup_{x \in D} x)$$x \in D$$f$$x \subseteq \bigcup_{x \in D} x$

La otra dirección, probada por su profesor, es la interesante: . Para ver esto, use la intuición que he mencionado anteriormente. Cualquier información atómica b en el lado izquierdo proviene de una aproximación finita de la entrada: x 0 ⊆ f i n ⋃ x ∈ D x . Es decir, b ∈ f ( x 0 ) . Desde x $f(\bigcup_{x \in D} x) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$$b$$x_0 \subseteq_{fin} \bigcup_{x \in D} x$$b \in f(x_0)$$x_0$es finito y está incluido en la unión del conjunto dirigido, debe haber algo en el conjunto dirigido que sea mayor que , tal vez x 0 en sí. Llame a ese elemento z . Por monotonicidad, f ( x 0 ) ⊆ f ( z ) . Entonces, b ∈ f ( z ) . Dado que z ∈ D , f ( z ) ⊆ ⋃ x ∈ D f ( x ) . Entonces, ahora $x_0$$x_0$$z$$f(x_0) \subseteq f(z)$$b \in f(z)$$z \in D$$f(z) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$$b$también se ve en el lado derecho. QED

Como ha notado, demostrar que la continuidad de su maestro implica que la ecuación bonita es la parte fácil. Lo más difícil es mostrar que la ecuación bonita, a pesar de parecer que no dice mucho, realmente dice todo en la definición de tu maestro.

Se me ocurrió tardíamente, después de escribir la última respuesta, que la definición de continuidad del maestro que estaba explicando en mi respuesta es la noción topológica de continuidad. La formulación algebraica de continuidad que generalmente se menciona en los libros de texto de Ciencias de la Computación oculta todas las intuiciones topológicas. (De hecho, Dana Scott ha escrito a menudo que ha evitado deliberadamente las formulaciones topológicas porque los informáticos no están familiarizados con él).

El vínculo entre las formulaciones algebraicas y topológicas se llama dualidad de Stone , y ahora está cada vez más claro que este vínculo en sí mismo es extremadamente importante para la informática.

Para una exposición conceptual de estas conexiones (y mucho más), vea la información, procesos y juegos de Abramsky .