En realidad hay un resultado más fuerte; Un problema está en la clase si tiene fptas 1 : una aproximación ε que se ejecuta en el tiempo delimitada por ( n + 1F P T A Sε(es decir, polinomio tanto en el tamaño como en el factor de aproximación). Hay una clase más generalEPTASque relaja el tiempo limitado af(1(n+1ε)O(1)EPTAS- esencialmente untiempo de ejecución similar aFPTcon respecto al factor de aproximación.f(1ε)⋅nO(1)FPT
Claramente, es un subconjunto de E P T A S , y resulta que E P T A S es un subconjunto de F P T en el siguiente sentido:FPTASEPTASEPTASFPT
Teorema Si un problema de NPO tiene unΠ eptas, entonces parametrizado por el costo de la solución es un parámetro fijo manejable.Π
El teorema y la prueba se dan en Flum & Grohe [1] como Teorema 1.32 (págs. 23-24), y lo atribuyen a Bazgan [2], que lo coloca dos años antes del resultado más débil de Cai y Chen (pero en francés reporte técnico).
Daré un boceto de la prueba, porque creo que es una buena prueba del teorema. Para simplificar, haré la versión de minimización, solo mentalmente hago las inversiones apropiadas para la maximización.
AΠA′Πk(x,k)Axε:=1k+11+1k+1ycost(x,y)yr(x,y)yopt(x)cost(x,y)=r(x,y)⋅opt(x)
cost(x,y)≤kopt(x)≤cost(x,y)≤kcost(x,y)>kr(x,y)≤1+1k+1A
opt(x)=cost(x,y)r(x,y)≥k+11+1k+1>k
A′A□
FPTEPTASFPT
Notas al pie:
- FPTASEPTASPTASNPO
[1]: J. Flum y M. Grohe, Teoría de la complejidad parametrizada , Springer, 2006.
[2]: C. Bazgan. Schémas d'approximation et complexité paramétrée , Rapport de DEA, Université Paris Sud, 1995.