MST: la complejidad del algoritmo de Prim, ¿por qué no ?

Según CLRS, los algoritmos de Prim se implementan a continuación:

$\mathtt{\text{MST-PRIM}}(G,w,r)$

• para cada do$u \in V[G]$
  
  • $\mathtt{\text{key}}[u] \leftarrow \infty$
  • $\pi[u] \leftarrow \mathtt{\text{NIL}}$
• $\mathtt{\text{key}}[r] \leftarrow 0$
• $Q \leftarrow V[G]$
• mientras que do // ...$Q \ne \emptyset$$O(V)$
  • $u$ $\leftarrow$ $\mathtt{\text{EXTRACT-MIN}}(u)$ // ...$O(\lg V)$
    
    • para cada do // ...$v \in \mathtt{\text{adj}}[u]$$O(E)$
      
      • si y$v \in Q$$w(u,v) \gt \mathtt{\text{key}}[v]$
        • entonces$\pi[v] \leftarrow u$
          • $\mathtt{\text{key}} \leftarrow w(u,v)$ // ...$\mathtt{\text{DECREASE-KEY}}$$O(\lg V)$

El libro dice que la complejidad total es . Sin embargo, lo que entendí es que el bucle interno con la operación costará , y el bucle externo encierra tanto el bucle interno como el interno , por lo que la complejidad total debería ser .$O(V \lg V + E \lg V) \approx O(E \lg V)$forDECREASE-KEY$O(E \lg V)$whileEXTRACT-MINfor$O(V (\lg V + E \lg V)) = O(V \lg V + EV \lg V) \approx O(EV \lg V)$

¿Por qué el análisis de complejidad no se realiza como tal? y ¿Qué hay de malo en mi formulación?

La complejidad se deriva de la siguiente manera. La fase de inicialización cuesta . El bucle se ejecutaveces. El bucle anidado dentro de la bucle se ejecuta veces. Finalmente, el lema del apretón de manos implica que hay implícitas DECREASE-KEY's. Por lo tanto, la complejidad es: .$O(V)$$while$$\left| V \right|$$for$$while$$degree(u)$$\Theta(E)$$\Theta(V)* T_{EXTRACT-MIN} + \Theta(E) * T_{DECREASE-KEY}$

La complejidad real depende de la estructura de datos realmente utilizada en el algoritmo. Usando una matriz, , la complejidad es en el peor de los casos.$T_{EXTRACT-MIN} = O(V), T_{DECREASE-KEY} = O(1)$$O(V^2)$

Usando un montón binario, , la complejidad es en el peor de los casos. Aquí está la razón: dado que el gráfico está conectado, entonces , y es como máximo (peor de los casos, para un gráfico denso). Probablemente, te perdiste este punto.$T_{EXTRACT-MIN} = O(\log V), T_{DECREASE-KEY} = O(\log V)$$O(E \log V)$$\left| E \right| \ge \left| V \right| - 1$$E$$V^2$

Usando un montón de Fibonacci, amortizado, amortizado, la complejidad es en el peor de los casos.$T_{EXTRACT-MIN} = O(\log V)$$T_{DECREASE-KEY} = O(1)$$O(E + V \log V)$

Tu idea parece correcta. Tomemos la complejidad como . Luego observe que en el bucle for interno, en realidad estamos atravesando todos los vértices, y no los bordes, así que modifiquemos un poco a , lo que significa . Pero para el análisis del peor de los casos (gráficos densos), es aproximadamente igual al número de aristas, , dando pero desde , por lo tanto .$V(\lg v + E\lg v)$$V(\lg v + V\lg v)$$V\lg v + V^2\lg v$$V^2$$E$$V\lg v + E\lg v = (V+E)\lg v$$V \ll E$$E\lg v$