Separación exponencial entre NFA y DFA en presencia de sindicatos

Recientemente se hizo una pregunta interesante y posteriormente se eliminó.

Para un lenguaje normal , su complejidad DFA es el tamaño del DFA mínimo que lo acepta, y su complejidad NFA es el tamaño del NFA mínimo que lo acepta. Es bien sabido que existe una separación exponencial entre las dos complejidades, al menos cuando el tamaño del alfabeto no tiene límites. De hecho, considere el lenguaje L n sobre el alfabeto { 1 , ... , n } que consiste en todas las palabras que no contienen todos los símbolos. Usando el teorema de Myhill-Nerode, es fácil calcular la complejidad de DFA 2 n . Por otro lado, la complejidad de NFA es solo $L$$L_n$$\{1,\ldots,n\}$$2^n$$n$(si se permiten varios estados iniciales; de lo contrario, es ).$n+1$

La pregunta en cuestión eliminado la DFA que cubre la complejidad de un lenguaje, que es el mínimo de tal que L se puede escribir como la unión (no necesariamente disjuntos) de las lenguas de DFA complejidad como máximo C . El DFA que cubre la complejidad de L n es solo 2 .$C$$L$$C$$L_n$$2$

¿Existe una separación exponencial entre la complejidad de NFA y la complejidad de cobertura de DFA?

Considere el lenguaje , donde # es un nuevo símbolo. La complejidad NFA de M n es n . Mostraremos que su complejidad de cobertura de DFA es 2 n .$M_n = \epsilon +(L_n \#)^*L_n$$\#$$M_n$$n$$2^n$

Deje que sea un DFA aceptar algún lenguaje L ( A ) ⊆ M n , con función de transición q A . Llame a un estado s viable si hay alguna palabra w tal que q A ( s , w ) es un estado de aceptación. Para cualquiera de los dos estados sin falla s , t , sea A s , t = { w ∈ ( 1 + ⋯ + n ) ∗ : q $A$$L(A) \subseteq M_n$$q_A$$s$$w$$q_A(s,w)$$s,t$No es difícil comprobar que cada palabra w ∈ L ( A ) se puede escribir como w = w 1 # ⋯ # w l donde w i ∈ A s i , t i para algunos viables s i , t i .

$$A_{s,t} = \{ w \in (1+\cdots+n)^* : q_A(s,w) = t \}.$$ $w \in L(A)$$w = w_1\# \cdots \#w_l$$w_i \in A_{s_i,t_i}$$s_i,t_i$

Suponga que , donde cada A i es un DFA. Sea P el enrejado generado por todos los idiomas A i s , t . Podemos ver L ( A i ) como un lenguaje L P ( A i ) sobre P ∗ , el espacio entre dos símbolos correspondientes a # . Bajo este punto de vista, corresponde a $M_n = \bigcup_{i=1}^N L(A^i)$$A^i$$P$$A^i_{s,t}$$L(A^i)$$L_P(A^i)$$P^*$$\#$$M_n$$P^*$ .

Llame a universal si para algunos x ∈ P ∗ es el caso de que para todos y ∈ P haya z ∈ P ∗ tal que x y z ∈ L P ( A i ) . Afirmamos que algo de L P ( A i ) es universal. De lo contrario, cada L P ( A i ) contiene como máximo ( |$L_P(A^i)$ $x \in P^*$$y \in P$$z \in P^*$$xyz \in L_P(A^i)$$L_P(A^i)$$L_P(A^i)$ l . palabras de longitud l . En total, la L P ( A i ) debe contener todo | P | l palabras de longitud l , por lo tanto | P | l ≤ N ( | P | - 1 ) l , que se viola por lo suficientemente grande$(|P|-1)^l$$l$$L_P(A^i)$$|P|^l$$l$$|P|^l \leq N (|P|-1)^l$$l$

Suponga que es universal, y escriba A = A i por brevedad. Sea x ′ ∈ P ∗ el prefijo correspondiente, y sea x ∈ M n una palabra que le corresponda. Por lo tanto, para cada y ∈ L n hay algo z y ∈ M n tal que x # y # z y ∈ L ( A $L_P(A^i)$$A = A^i$$x' \in P^*$$x \in M_n$$y \in L_n$$z_y \in M_n$ .$x\#y\#z_y \in L(A_i)$

Para un subconjunto , que y S consista en las letras en S escritas en orden. Reivindicamos que las palabras x # Y S son no equivalentes para la relación Myhill-Nerode de A . De hecho, suponga S ≠ T y encuentre alguna a ∈ S ∖ T (sin pérdida de generalidad). Entonces x # y T y { 1 , ... , n } - $S \subseteq \{1,\ldots,n\}$$y_S$$S$$x\#y_S$$A$$S \neq T$$a \in S \setminus T$mientras quex#ySy { 1 , ... , n } - a #z y T y { 1 , ... , n } - a ∉Mn. Por lo tanto,Adebe tener al menos2nestados.$x\#y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \in L(A)$$x\#y_S y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \notin M_n$$A$$2^n$