Una evaluación de cálculo lambda con números de la Iglesia

Entiendo que un número de Iglesia parece a (... n veces ...) . Esto no significa nada más que "la función aplicados veces a la función ". $c_n$ $\lambda s. \lambda z. s$ $s\;z$ $s$ $n$ $z$

Una posible definición de la función es la siguiente: . Mirando el cuerpo, entiendo la lógica detrás de la función. Sin embargo, cuando comienzo a evaluar, me atoro. Lo ilustraré con un ejemplo: $\mathtt{times}$ $\mathtt{times} = \lambda m. \lambda n. \lambda s. m \; (n\; s)$

\begin{aligned} (λ m . λ n . λ s . m (n s)) (λ s . λ z . s s z) (λ s . λ z . s s s z) \\ \to^{*} & λ s . (λ s . λ z . s s z) ((λ s . λ z . s s s z) s)) \\ \to^{*} & λ s . (λ s . λ z . s s z) (λ z . s s s z) \\ \to^{*} & λ s . λ z . (λ z . s s s z) (λ z . s s s z) z \end{aligned}

$\begin{align*} (\lambda m. \lambda n. \lambda s. m \; (n\; s))(\lambda s.\lambda z.s\;s\;z)(\lambda s.\lambda z.s\;s\;s\;z) \mspace{-4em} \\ \to^*& \lambda s. (\lambda s.\lambda z.s\;s\;z) \; ((\lambda s.\lambda z.s\;s\;s\;z)\; s)) \\ \to^*& \lambda s. (\lambda s.\lambda z.s\;s\;z) \; (\lambda z.s\;s\;s\;z) \\ \to^*& \lambda s. \lambda z.(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z \end{align*}$

Ahora, en esta situación, si primero aplico , obtengo el resultado deseado. Sin embargo, si aplico primero, como debería porque la aplicación es asociativa desde la izquierda, obtengo un resultado incorrecto: $(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z$ $(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)$

$\lambda s. \lambda z.(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z \to \lambda s. \lambda z.(s\;s\;s\;(\lambda z.s\;s\;s\;z))\;\;z$

Ya no puedo reducir esto. ¿Qué estoy haciendo mal? El resultado debería ser $\lambda s. \lambda z.s\;s\;s\;s\;s\;s\;z$

lambda-calculus church-numerals

— codd
fuente

Los números de la Iglesia en su término inicial no son correctos. 2 está representado por , no .

λ s . λ z . s (s z)

$\lambda s. \lambda z. s (s z)$

λ s . λ z . s s z

$\lambda s. \lambda z. s s z$

— Uday Reddy

Creo que su reducción es correcta (sin embargo, solo la he analizado). Al final, no puede aplicar a , esto nunca aparece en el término. es , no . Las funciones en el cálculo lambda toman un solo argumento; se curry efectivamente : una función de dos argumentos se implementa como una función de un argumento que toma el primer argumento y devuelve una nueva función de un argumento que toma el segundo argumento y devuelve el resultado. $(\lambda z. s s s z)$ $z$ $\lambda z. f f z$ $\lambda z. (f f) z$ $\lambda z. f (f z)$

Cometiste el mismo error al definir los números de la Iglesia. El número de la Iglesia para se basa en componer una función veces. “La función aplicó veces a la función ” . Lo que escribiste es la función aplicada veces a la función finalmente a , lo que no me parece un término útil. $n$ $n$ $s$ $n$ $z$ $\lambda s. \lambda z. s (s ( … s \: z) … ))$ $s$ $n-1$ $s$ $z$

$2 \times 3$ es así . Te dejaré comprobar que se reduce a . $(\lambda m n s. m (n s)) (\lambda s z. s (s \: z)) (\lambda s z. s (s (s \: z)))$ $\lambda s z. s (s (s (s (s (s \: z)))))$

— Gilles 'SO- deja de ser malvado'
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En lo que respecta a su párrafo, tiene razón y yo lo sabía. Simplemente me llamó la atención que aplicar correctamente asociativo dio el resultado correcto. En cuanto al segundo párrafo: tienes razón. El uso de llaves no fue erróneo para mí, nuevamente debido a la asociatividad izquierda de la aplicación. ¡Reduciré todo de nuevo ahora y veré si mi falta de frenos causó mi error!

— codd

Lo hizo. ¡Observar que mi notación implicaba un orden de aplicación incorrecto resolvió el problema! Aceptando tu respuesta.

— codd