Asignación de números

Dados números modo que hay una asignación de números que es una permutación de tal que $k$ $A_1 \leq A_2 \leq ... \leq A_k$ $\sum\limits_{i=1}^k A_i = k(2k + 1)$ $i_1, i_2, ... , i_{2k}$ $1, 2, ... , 2k$

$i_1 + i_2 \leq A_1\\ i_3 + i_4 \leq A_2\\ .\\.\\.\\ i_{2k-1} + i_{2k} \leq A_k$

No puedo encontrar un algoritmo eficiente y eso resuelve este problema. Parece ser un problema combinatorio. No pude encontrar un problema NP-Complete similar. ¿Este problema se parece a un problema NP-Complete conocido o se puede resolver con un algoritmo polinomial?

np-complete decision-problem

— gprime
fuente

¿Has progresado en el problema?

— Yuval Filmus

Olvidé mencionar que

A_{1} \leq A_{2} \leq . . . \leq A_{k}

$A_1 \leq A_2 \leq ... \leq A_k$

— gprime

Problema relacionado , también sin una respuesta satisfactoria. (Puede que no esté claro a primera vista cómo están relacionados, pero si , el problema es equivalente a encontrar una permutación de para que .

K = 2 N

$K=2N$

1 \dots 2 N

$1 \ldots 2N$

i_{2 a - 1} - i_{2 a} = A_{i}

$i_{2a-1} - i_{2a} = A_i$

— Peter Shor

Respuestas:

Este problema es fuertemente NP-completo.

Supongamos que todas las son impares. Entonces sabemos que dado que es impar, uno de e es par y el otro es impar. Podemos suponer que es impar y que es par. Al permitir que $A_j$ $i_{2j-1} + i_{2j} = A_j$ $i_{2j-1}$ $i_{2j}$ $i_{2j-1}$ $i_{2j}$ y $\pi_j = \frac{1}{2}(i_{2j-1}+1)$ , podemos mostrar que esto es equivalente a pedir dos permutaciones,y, de los númerosmodo que $\sigma_j = \frac{1}{2}(i_{2j})$ $\pi$ $\sigma$ $1 \ldots n$ . $\pi_j + \sigma_j = \frac{1}{2}(A_j+1)$

Se sabe que este problema es NP-completo; vea este problema cstheory.se y este artículo de W. Yu, H. Hoogeveen y JK Lenstra referenciados en la respuesta.

— Peter Shor
fuente

Aquí hay una pista para comenzar: dado que la suma de todos los números del al es exactamente , una solución es posible solo si de hecho , y así sucesivamente. Así dieron que sé , y así sucesivamente. Además, . $1$ $2k$ $k(2k+1)$ $i_1 + i_2 = A_1$ $i_3 + i_4 = A_2$ $i_1$ $i_2$ $3 \leq A_j \leq 4k-1$

— Yuval Filmus
fuente

Entonces, ¿cómo debo elegir

para empezar? No estoy viendo la solución. Pero gracias por la propiedad

i_{1}

$i_1$

3 \leq A_{j} \leq 4 k - 1

$3 \leq A_j \leq 4k -1$

— gprime

Si el

está ordenado, sabemos

, y así sucesivamente. Son estos criterios, junto con

, suficiente? Si lo son, posiblemente podría haber un algoritmo simple para este problema.

A_{i}

$A_i$

3 \leq A_{1}

$3 \leq A_1$

10 \leq A_{1} + A_{2}

$10 \leq A_1 + A_2$

21 \leq A_{1} + A_{2} + A_{3}

$21 \leq A_1 + A_2 + A_3$

\sum_{i} A_{i} = k (2 k + 1)

$\sum_i A_i = k(2k+1)$

— Peter Shor

Sí, están ordenados. Trataré de usar esto ...

— gprime

@PeterShor También debe considerar los límites desde la dirección opuesta, es decir,

, y así sucesivamente. Si analizamos el problema de forma anecdótica, parece que un algoritmo codicioso simple debería descubrir soluciones cuando existen y fallar precisamente cuando no existen, pero tengo problemas para demostrarlo.

4 n - 1 \geq A_{n}, 8 n - 6 \geq A_{n - 1} + A_{n}

$4n-1 \geq A_n, 8n-6 \geq A_{n-1}+A_{n}$

— torquestomp

@torquestomp: Estás planteando un buen punto. De hecho, los límites de una dirección también implican los límites de la otra, pero eso no es nada obvio a primera vista. Observé un problema similar y no pude encontrar un algoritmo simple (pero también me pareció que el análogo de estos criterios era suficiente).

— Peter Shor

Es un problema de coincidencia, por lo que puede resolverse utilizando el algoritmo de Edmond. Ver wikipedia

— Será
fuente

La idea de Stackexchange es tener un Q&A que sea lo más completo posible. ¿Sería capaz de ampliar su respuesta para que sea más que un simple enlace a wikipedia?

— Luke Mathieson,

¿Puedes elaborar? No veo cómo puedo usar esos algoritmos para resolver mi pregunta.

— gprime

En realidad, para mí parece un caso especial de 3 coincidencias, que es NP completo. Esto no significa que el problema de los PO esté completo en NP.

— Peter Shor

¿Podría ser quizás una coincidencia bipartita? Examinaré la combinación de 3 para ver si puedo resolverlo. ¡Gracias!

— gprime