¿Por qué el algoritmo de rotación del árbol splay tiene en cuenta tanto el nodo padre como el abuelo?

No entiendo bien por qué la rotación en la estructura de datos del árbol de separación está teniendo en cuenta no solo al padre del nodo de calificación, sino también al abuelo (operación zig-zag y zig-zig). ¿Por qué no funcionaría lo siguiente?

A medida que insertamos, por ejemplo, un nuevo nodo en el árbol, verificamos si insertamos en el subárbol izquierdo o derecho. Si insertamos en la izquierda, rotamos el resultado DERECHA, y viceversa para el subárbol derecho. Recurrentemente sería algo así

Tree insert(Tree root, Key k){
    if(k < root.key){
        root.setLeft(insert(root.getLeft(), key);
        return rotateRight(root);
    }
    //vice versa for right subtree
}

Eso debería evitar todo el procedimiento de "separación", ¿no le parece?

El algoritmo de equilibrio más simple puede requerir tiempo amortizado por rotación en el peor de los casos. Supongamos que el árbol es solo un camino totalmente desequilibrado de niños correctos; ningún nodo tiene un hijo izquierdo. La única hoja en este árbol es el árbol con la clave máxima. Si gira este paso a paso hasta la raíz, ha utilizado rotaciones , y el árbol resultante todavía está totalmente desequilibrado.n - $\Omega(n)$$n-1$

Ahora supongamos que promovemos repetidamente cada nodo en el árbol, uno a la vez, en orden de teclas decreciente, usando el algoritmo más simple. Después de realizar todas las promociones, el árbol ha vuelto a su estado original, y hemos utilizado aproximadamente rotaciones. Por lo tanto, en promedio, cada promoción en esta secuencia requiere rotaciones ; Además, puedo repetir este patrón para siempre. Entonces, el costo amortizado para este algoritmo de promoción es .Ω ( n ) Ω ( n $n^2/2$$\Omega(n)$$\Omega(n)$

Este mal ejemplo aparece en Sleator y el papel original del árbol de despliegue de Tarjan.

El algoritmo splay considera no solo un nodo a la vez, sino dos nodos a la vez. En particular, si el nodo está desplegando es el hijo derecho de un hijo derecho, el algoritmo de visualización primero gira al padre de , y solo luego gira .x $x$$x$$x$

La ventaja de este algoritmo más complejo es que no solo lleva el nodo accedido a la raíz, sino que también mueve a cada antepasado del nodo accedido aproximadamente a la mitad de la raíz , pero nunca mueve ningún nodo más que un número constante de niveles fuera del raíz.

Sleator y Tarjan prueban que el tiempo amortizado por juego es solo . (La prueba utiliza un tedioso análisis de casos utilizando una función de potencial mágico; sinceramente, si tiene curiosidad, simplemente lea el documento original). Por supuesto, una sola sesión puede llevar tiempo , pero comenzando con un árbol vacío, tienes que realizar muchas inserciones y splays para configurar un mal ejemplo.Ω ( n $O(\log n)$$\Omega(n)$

Más brevemente: la propagación mueve los nodos hacia arriba rápidamente y hacia abajo lentamente.