Encontrar una estrella de 5 puntas en tiempo polinómico

Quiero establecer que esto es parte de mi tarea para un curso que estoy tomando actualmente. Estoy buscando ayuda para proceder, NO UNA RESPUESTA.

Esta es la pregunta en cuestión:

Una estrella de 5 puntas en un gráfico no dirigido es una camarilla de 5. Muestre esa ESTRELLA DE 5 PUNTOS $\in P$ , donde ESTRELLA DE 5 PUNTOS = $\{ <G>$ $: G$ contiene una estrella de 5 puntas como un subgrafo $\}$ .

Donde una camarilla es CLIQUE = $\{(G, k) : G$ es un gráfico no dirigido $G$ con una $k$ -clique $\}$ .

Ahora mi problema es que esto parece estar resolviendo el problema de CLIQUE, determinando si un gráfico contiene una camarilla con la restricción adicional de tener que determinar que CLIQUE forma una estrella de 5 puntas. Esto parece involucrar algunos cálculos geométricos basados en el conocimiento de una estrella de 5 puntas . Sin embargo, en la Teoría de la computación de Michael Sipser , página 268, hay una prueba que muestra que CLIQUE está en $NP$ y en la página 270 señala que,

Hemos presentado ejemplos de lenguajes, como HAMPATH y pandilla, que son miembros de NP, pero que no son conocidos para estar en $P$ . [énfasis añadido]

Si CLIQUE no está en , ¿por qué una estrella de cinco puntas está en ? ¿Hay algo que no estoy viendo? Recuerde, este es un PROBLEMA DE TAREA y una RESPUESTA DIRECTA NO SERÍA APRECIADA. ¡Gracias! $P$ $P$

complexity-theory time-complexity

— HermanoJack
fuente

Si es un gráfico, ¿cuántos subconjuntos de de tamaño existen? $G=(V,E)$ $V$ $5$

Si hay una camarilla 5, uno de estos subconjuntos es una camarilla.

Spoilers a continuación:

Hay posibles subconjuntos para verificar, es decir, como máximoopciones, que es polinomial en la entrada. Este NO es el casopara unaarbitraria, ya quepodría ser exponencial en la entrada, y es por eso que(a menos que P = NP, agghh). ${|V| \choose 5}$ $|V|^5$ $k$ $|V|^k$ $\text{CLIQUE} \notin P$

— Sonó.
fuente

Eso es lo que me está haciendo tropezar, creo. Tenía la impresión de que el problema CLIQUE estaba redactado de esa manera para que simplemente se aplicara a una camarilla de cualquier tamaño, y ese tamaño se dio como parte del problema. Mientras que en ese problema parece que se desconoce el tamaño de CLIQUE (sin embargo, en hw one es 5). Ahora, si tuviera que construir una máquina de Turing de cinta única determinista que decidiera una respuesta a este problema en tiempo polinómico, eso constituiría una respuesta (dado que la prueba es sólida, por supuesto), ¿sí?

— BrotherJack

@BrotherJack Por ejemplo sí, si uno puede dar un algoritmo de tiempo polinómico para un problema, se muestra claramente que el problema está en

. Tenga en cuenta que uno ni siquiera necesita ir a un "nivel bajo" como una máquina de Turing, un algoritmo de nivel superior funcionará igual de bien.

P

$P$

— Juho

Puede ser interesante relacionar este efecto con la complejidad parametrizada .

— Raphael

No sabía que podías hacer el efecto de spoilers. Buena pista

— Joe