Un problema de optimización continua que se reduce a TSP

Supongamos que yo soy dado un conjunto finito de puntos en el plano, y se le pidió que dibujara una curva dos veces diferenciable a través de los 's, de modo que su perímetro sea lo más pequeño posible. Suponiendo que y , puedo formalizar este problema como: $p_1,p_2,..p_n$ $C(P)$ $p_i$ $p_i=(x_i,y_i)$ $x_i<x_{i+1}$

Problema 1 (editado en respuesta a los comentarios de Suresh) Determine las funciones de de un parámetro tal que la longitud del arco $C^2$ $x(t),y(t)$ $t$ se minimiza, cony para todo, tenemos. $L = \int_{[t \in 0,1]} \sqrt{x'^2+y'^2}dt$ $x(0) = x_1, x(1) = x_n$ $t_i: x(t_i) = x_i$ $y(t_i)=y_i)$

¿Cómo pruebo (o tal vez rechazo) que el problema 1 es NP-difícil?

Por qué sospecho de dureza NP Suponga que la suposición de es relajada. Evidentemente, la función de la longitud de arco mínima es el recorrido del vendedor ambulante de los 's. ¿Quizás la restricción solo hace que el problema sea mucho más difícil? $C^2$ $p_i$ $C^2$

Contexto Se publicó una variante de este problema en MSE . No recibió una respuesta tanto allí como en MO . Dado que no es trivial resolver el problema, quiero establecer qué tan difícil es.

— PKG
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x_{i} < x_{i + 1}

$x_i < x_{i+1}$

C_{2}

$C_2$

p_{3}

$p_3$

p_{2}

$p_2$

x_{1} < x_{2} < x_{3}

$x_1 < x_2 < x_3$

No está claro, debe indicar lo que quiere decir con "determinar" aquí. No es una terminología estándar. Ni siquiera es un problema de decisión, por lo que usar el término NP-hard no tiene sentido.

— Kaveh

@Suresh, ¿puedes ampliar la parte de salida? Supongo que te refieres a emitir el nombre de una maldición de un conjunto enumerable de curvas. Tenga en cuenta que en ese caso, no está claro que la curva óptima siempre sea de esa clase. Por otro lado, si queremos encontrar el mejor o uno bueno entre ellos (o una aproximación de un parámetro dado a la curva óptima), entonces se debe especificar la clase de curvas paramétricas, de lo contrario, la pregunta está incompleta y no puede ser contestada.

— Kaveh

La entrada / salida ya no es un objeto finito, por ejemplo, si realmente se trata de números / funciones reales, entonces su problema es de tipo superior. Cada objeto infinito está dado por una serie infinita de aproximaciones al objeto deseado. La página de la red CCA contiene más enlaces si está interesado.

— Kaveh

$\mathcal{C}^0$ $\mathcal{C}^{\infty}$

$\mathcal{C}^0$ $\mathcal{C}^0$ $p_{\sigma(1)}, \ldots, p_{\sigma(n)}$ $t_1,\ldots,t_n$ $t$ $n$ $[p_{\sigma(1)},p_{\sigma(2)}], \ldots, [p_{\sigma(n-1)},p_{\sigma(n)}], [p_{\sigma(n)},p_{\sigma(1)}]$ es más corta, porque para cada segmento una línea recta es más corta que cualquier otra curva que conecta el punto. Por lo tanto, para cada ordenamiento de los puntos, la mejor curva es una solución TSP, y la solución TSP proporciona el mejor ordenamiento de los puntos.

$\mathcal{C}^{\infty}$ $\mathcal{C}^k$ $k$ $\ell$ $\epsilon > 0$ $\mathcal{C}^{\infty}$ $\ell + \epsilon$ $e^{-1/t^2}$ $e^{1-1/x^2} (x-e^{-1/(1-x)^2})$ $y=0$ $x=0$ $y=x$ $x=1$ $\mathcal{C}^{\infty}$

— Gilles 'SO- deja de ser malvado'
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Este es exactamente el argumento que estaba buscando, ¡por mucho tiempo! ¿Puedes dar una referencia para la tediosa construcción?

— PKG

Esto no es del todo riguroso, especialmente porque en el plano se puede obtener una aproximación arbitrariamente buena a TSP en tiempo polinómico.

— Suresh

¿Pensé que podrías aproximar el TSP solo a un factor de 2 en el tiempo polivinílico?

— PKG

@PKG La construcción probablemente tenga un nombre, pero me temo que mis clases de cálculo fueron hace mucho tiempo para que lo recuerde. Acabo de recordar que la conexión básica se llama función de relieve.

— Gilles 'SO- deja de ser malvado'

ϵ

$\epsilon$

1 / ϵ

$1/\epsilon$

1 + ϵ

$1+\epsilon$