Transformando una cubierta arbitraria en una cubierta de vértice

Dado es un gráfico plano y deje que denote su incrustación en el plano st cada borde tiene una longitud . Tengo además un conjunto de puntos en los que cada punto está contenido en . Además, para cualquier punto en existe un con una distancia geodésica a como máximo uno. (La distancia se mide como la distancia más corta dentro de ). $G=(V,E)$ $\mathcal{G}$ $1$ $C$ $c \in C$ $\mathcal{G}$ $p$ $\mathcal{G}$ $c \in C$ $p$ $\mathcal{G}$

Quiero argumentar que dada una para la cual se cumple la condición anterior, puedo transformarla fácilmente en una cubierta de vértice, o decirlo de otra manera, transformarla en una de la misma cardinalidad st cualquier se coloca en en un vértice de , y todavía cubre . $C$ $C'$ $c \in C'$ $\mathcal{G}$ $G$ $C'$ $G$

Mi enfoque fue orientar los bordes y mover los puntos en en el vértice final del arco. Pero hasta ahora no he encontrado una orientación correcta que produce de . $C$ $C'$ $C$

Alguien tiene una idea?

algorithms graph-theory set-cover

— usuario695652
fuente

No entiendo bien el problema. ¿Qué significa "

"? ¿Cómo mides exactamente las distancias? Si quiere decir que

siempre está en un borde, entonces parece que si lo coloca en cualquier extremo, entonces cada punto a distancia como máximo

de él, es decir, ambos puntos finales, todavía está a distancia como máximo

de él. Para cualquier orientación.

p

$p$

G

$\mathcal{G}$

p

$p$

1

$1$

1

$1$

— Yuval Filmus

@Yuval Filmus

es un dibujo de arco de Jordania de

, es decir, un subconjunto de

solo significa que el punto debe estar contenido en el dibujo y no en cualquier parte del plano. La distancia se mide como la distancia geodésica en

, es decir, la ruta más corta que conecta dos puntos en el dibujo. Para su último comentario, tome un ciclo de 4 y coloque dos puntos en el medio del primer y tercer borde. Esto cubre todo el gráfico, pero si ahora mueve un punto en su punto final del vértice en el sentido de las agujas del reloj y un punto en su punto final del vértice en el sentido contrario a las agujas del reloj, no cubre

G

$\mathcal{G}$

G

$G$

\mathhbb R^{2}

$\mathhbb{R}^2$

p \in G

$p \in \mathcal{G}$

G

$\mathcal{G}$

— user695652

Si no hay puntos en se encuentran exactamente en el punto medio de una arista en , entonces es suficiente para asociar cada punto al vértice más cercano en . Lo dejaré como ejercicio para que el lector pruebe esto (pista: probar por contradicción). $C$ $\mathcal{G}$ $C$ $\mathcal{G}$

Por otro lado, si se permite que los puntos en se encuentren en el punto medio de los bordes, entonces podemos proporcionar un contraejemplo: $C$

ingrese la descripción de la imagen aquí

Las líneas azules y los círculos son y las cruces rojas son . $\mathcal{G}$ $C$

EDITADO PARA AGREGAR: Un ejemplo con un gráfico biconnectado

ingrese la descripción de la imagen aquí

— mhum
fuente

Muchas gracias por el contraejemplo. ¿Está de acuerdo en que si restringimos los gráficos para que se conecten entre sí, entonces la afirmación es cierta, incluso si todos los puntos están en el medio?

— user695652

No creo que la bi-conexión te salve. Edité mi respuesta con un nuevo ejemplo.

— mhum

Esta es una pregunta bastante diferente. Puede tener sentido publicarlo por separado.

— mhum

@mhum ¿Cómo hiciste fotos de gráficos? ¿Existe algún programa para eso?

— Tacet

@Tacet No recuerdo exactamente cómo hice esto. Creo que el primero podría haber sido MS Paint o GIMP. El segundo podría ser GIMP o Geogebra.

— mhum