En la teoría de la computabilidad y la complejidad (y quizás en otros campos), las reducciones son ubicuas. Hay muchos tipos, pero el principio sigue siendo el mismo: demuestre que un problema es al menos tan difícil como otro problema al mapear instancias de a soluciones equivalentes en . Esencialmente, mostramos que cualquier solucionador para también puede resolver si permitimos que use la función de reducción como preprocesador.L $L_1$$L_2$L 1 L 1 L $L_2$$L_1$$L_1$$L_2$

He realizado mi parte de las reducciones a lo largo de los años, y algo me sigue molestando. Si bien cada nueva reducción requiere una construcción creativa (más o menos), la tarea puede parecer repetitiva. ¿Hay un grupo de métodos canónicos?

¿Cuáles son las técnicas, patrones y trucos que uno puede emplear regularmente para construir funciones de reducción?

^{Se supone que esto se convertirá en una pregunta de referencia . Por lo tanto, tenga cuidado de dar respuestas generales, presentadas didácticamente, que se ilustran con al menos un ejemplo pero que, sin embargo, cubren muchas situaciones. ¡Gracias!}

El caso especial

Suponemos que queremos mostrar con respecto a alguna noción de reducción . Si es un caso especial de , eso es bastante trivial: esencialmente podemos usar la función de identidad. La intuición detrás de esto es clara: el caso general es al menos tan difícil como el caso especial. R L $L_1 \leq_R L_2$$R$$L_1$$L_2$

En "práctica", se nos da y estamos atrapados con el problema de elegir un buen compañero de reducción , es decir, encontrar un caso especial de que ha demostrado ser duro.L 1 L 2$L_2$$L_1$$L_2$$R$

Ejemplo simple

Supongamos que queremos mostrar que KNAPSACK es NP-hard. Afortunadamente, sabemos que SUBSET-SUM es NP-complete, y de hecho es un caso especial de KNAPSACK. La reducción

$\qquad f(A,k) = (A, (1,\dots,1), k, |A|)$

basta es la instancia de KNAPSACK que pregunta si podemos alcanzar al menos el valor v con los valores de los elementos en V para que los pesos correspondientes de W permanezcan por debajo de w en total. No necesitamos las restricciones de peso para simular SUBSET-SUM, por lo que solo las configuramos con valores tautológicos.$(V,W,v,w)$$v$$V$$W$$w$

Problema de ejercicio simple

Considere el problema MAX-3SAT: dada una fórmula proposicional y un entero k , decida si existe una interpretación de φ que cumpla al menos k cláusulas. Demuestre que es NP-hard.$\varphi$$k$$\varphi$$k$

3SAT es un caso especial; con m el número de cláusulas en φ es suficiente.$f(\varphi) = (\varphi, m)$$m$$\varphi$

Ejemplo

Supongamos que estamos investigando el problema SUBSET-SUM y queremos demostrar que es NP-hard.

Tenemos suerte y sabemos que el problema de PARTICIÓN es NP-completo. Confirmamos que es un caso especial de SUBSET-SUM y formulamos

$\qquad \displaystyle f(A) = \begin{cases} \left(A, \frac{1}{2}\sum_{a \in A} a\right) &, \sum_{a \in A} a\mod 2 = 0 \\ \left(A, 1 + \sum_{a \in A} |a|\right) &, \text{else} \end{cases}$

donde es el conjunto de entrada de PARTITION, y es una instancia de SUBSET-SUM que solicita un subconjunto de suma a . Aquí, tenemos que ocuparnos del caso de que no hay ajuste ; en ese caso, damos una instancia arbitraria inviable.$A$A $(A,k)$$A$$k$$k$

Problema de ejercicio

Considere el problema de más larga PATH: dado un grafo dirigido , los nodos de y número entero , debe decidir si hay un camino simple de a en de longitud al menos .s , t G k s t G $G$$s,t$$G$$k$$s$$t$$G$$k$

Demuestre que el CAMINO MÁS LARGO es NP-duro.

HAMILTON-CYCLE es un conocido problema de NP completo y un caso especial de la VÍA MÁS LARGA; para el nodo arbitrario en suficiente. Observe en particular cómo reducir de HAMILTON-PATH requiere más trabajo.v $f(G) = (G,v,v,n)$$v$$G$

Aprovechando un problema cercano conocido

Cuando se enfrenta a un problema que se siente difícil, a menudo es una buena idea tratar de buscar un problema similar que ya haya sido probado. O, tal vez pueda ver de inmediato que un problema es muy similar a un problema conocido.

Problema de ejemplo

Considera un problema

deseamos mostrar is -complete. Rápidamente notamos que está muy cerca de un problema que ya sabemos que es difícil, a saber, el problema de satisfacción (SAT) .$\mathsf{NP}$

La membresía a es fácil de mostrar. El certificado son dos tareas. Claramente, se puede verificar en tiempo polinómico si las asignaciones satisfacen una fórmula.$\mathsf{NP}$

SAT φ v ( v ∨ ¬ v ) φ v = ⊥ v = ⊤ φ φ $\mathsf{NP}$ -dureza se deriva de una reducción de . Dada una fórmula , la modificamos introduciendo una nueva variable . Agregamos una nueva cláusula a la fórmula. Ahora, si es satisfactoria, será satisfactoria con y . Por lo tanto, tiene al menos 2 tareas satisfactorias. Por otro lado, si no es satisfactoria, definitivamente no será satisfactoria independientemente del valor de .$\text{SAT}$$\varphi$$v$$(v \vee \neg v)$$\varphi$$v = \perp$$v = \top$$\varphi$$\varphi$$v$

De ello se deduce que es -complete, que es lo que queríamos mostrar.N $\text{DOUBLE-SAT}$$\mathsf{NP}$

Encontrar problemas cercanos

Reducir los problemas es una especie de arte, y a menudo se necesita experiencia e ingenio. Afortunadamente, ya se conocen muchos problemas difíciles . Las computadoras y la intratabilidad de Garey y Johnson: una guía para la teoría de la integridad de NP es clásica con su apéndice que enumera muchos problemas. Google Scholar también es un amigo.

En computabilidad, a menudo investigamos conjuntos de máquinas de Turing. Es decir, nuestros objetos son funciones y tenemos acceso a una numeración de Gödel . Eso es genial porque podemos hacer casi lo que queremos con la función de entrada, siempre y cuando sigamos siendo computables.

$L$

$\qquad \langle M \rangle \in K \iff \langle f_M \rangle \in L$

$K = \{ \langle M \rangle \mid M(\langle M \rangle) \text{ halts} \}$

$\langle M \rangle \mapsto \langle f_M \rangle$$f_M$

• $A_{\mathrm{TM}}$
• ¿Es posible mapear reducir cualquiera de estos idiomas al otro?

$L$$\overline{K}$

• ¿La regularidad del lenguaje aceptado por una máquina de Turing dada es una propiedad semi-decidible?
• ¿Es el conjunto de funciones constantes computables enumerables recursivamente?

1. Aquí es donde entra en juego la numeración de Gödel: obtenemos la computabilidad de esta asignación (generalmente) de forma gratuita.

$A$$B$$B$$A$

Una estrategia útil es trabajar a partir de grandes compilaciones de problemas de la clase de complejidad en cuestión y encontrar los "problemas más cercanos aparentes" al problema que se está estudiando. Una excelente referencia en este sentido es Computadoras e Intractabilidad, una guía de la teoría de la integridad de NP, Garey y Johnson organizada por diferentes tipos de problemas.