Máquina de Turing de dos estados para emparejar paréntesis

En la universidad hemos estado aprendiendo sobre la teoría de la computación en general y las máquinas de Turing más específicamente. Uno de los grandes resultados teóricos es que, a costa de un alfabeto (símbolos) potencialmente grande, puede reducir el número de estados a solo 2.

Estaba buscando ejemplos de diferentes máquinas de Turing y un ejemplo común presentado es el comparador / corrector de paréntesis. Básicamente, comprueba si una cadena de paréntesis, por ejemplo, (()()()))()()()está equilibrada (el ejemplo anterior devolvería 0 para desequilibrado).

Por más que lo intente, solo puedo lograr que sea una máquina de tres estados. ¡Me encantaría saber si alguien puede reducir esto al mínimo teórico de 2 y cuál fue su enfoque / estados / símbolos!

Solo para aclarar, los paréntesis están "intercalados" entre la cinta en blanco, por lo que en el ejemplo anterior - - - - - - - (()()()))()()() - - - - - - -sería la entrada en la cinta. El alfabeto incluiría (, ), 1, 0, -, y el *halt*estado no cuenta como un estado.

Como referencia, el enfoque de tres estados que tengo es el siguiente: Descripción de los estados:

 State s1: Looks for Closing parenthesis

 State s2: Looks for Open parenthesis

 State s3: Checks the tape to ensure everything is matched

 Symbols: ),(,X

Transiciones enumeradas como:

Action: State Symbol NewState WriteSymbol Motion

// Termination behavior
Action: s2 - *halt* 0  -
Action: s1 -  s3    -  r

//Transitions of TM
Action: s1 (  s1  (   l
Action: s1 )  s2  X  r
Action: s1 X  s1  X  l
Action: s2 ( s1 X  l
Action: s2 X  s2 X r
Action: s3 (  *halt* 0 -
Action: s3 X  s3     X r
Action: s3 -  *halt* 1 -

Perdona la forma informal de escribir todo esto. Todavía estoy aprendiendo las construcciones teóricas detrás de esto.

turing-machines context-free parsers

— Four_FUN
fuente

¿Se nos permite usar un alfabeto más grande?

— Raphael

@Raphael Según el resultado teórico, uno puede intercambiar estados por alfabeto y viceversa. Por lo tanto, reducir los estados a dos significa que probablemente tendrá que usar un alfabeto más grande. Entonces, sí, la respuesta corta es: El alfabeto puede ser tan grande como se desee

— Four_FUN el

Creo que, en una TM de dos cintas, esto se puede hacer sin símbolos adicionales y.

— Karolis Juodelė

@Four_FUN eres de MIT?

Respuestas:

Solo un compendio de "código fuente" de la respuesta de Raphael: esta es una versión funcional que usa el mismo truco (en el estado q1) y tiene alfabeto de cinta:
_ ( ) [ { / \ (donde es el símbolo inicial en blanco) $\_$

q0:  _ -> accept  // accept on empty string and on balanced parenthesis
     ( -> {,R,q1  // mark the first open "(" with "{" and goto q1
     ) -> reject  // reject if found unbalanced ")"
     \ -> /,L,q0  // go left
     / -> \,R,q0  // go right

q1:  ( -> [,R,q1  // replace "(" with "[" and continue ...
     ) -> /,L,q1  // ... until first ")", replace it with "/" and goto left
     [ -> \,R,q1  // found matching "(" bracket, goto right and search for another ")"
     _ -> reject  // no ")" found for the first "{", reject
     { -> \,R,q0  // this must be the last match, goto q0 and check if it is true
     \ -> /,L,q1  // go left
     / -> \,R,q1  // go right

Puede verlo en funcionamiento utilizando un simulador en línea de la máquina Turing ; el código fuente es:

0 _ Y r halt
0 ( { r 1
0 ) N r halt
0 \ / l 0
0 / \ r 0
1 ( [ r 1
1 ) / l 1
1 [ \ r 1
1 _ N r halt
1 { \ r 0
1 \ / l 1
1 / \ r 1

Una nota final: si desea ver cómo esta técnica puede llevarse al límite, lea (y trate de comprender :-) la construcción de la máquina Universal Turing con 2 estados y 18 símbolos por Y. Rogozhin en "Pequeño Turing universal máquinas"

— Vor
fuente

¿No decidimos que las respuestas que presentan solo el código fuente no son buenas para la informática ? ;)

— Raphael

@Raphael: Estoy de acuerdo con usted, pero el mío se puede ver como un anexo al suyo (eso parece estar bien, incluso si no verifico los detalles). Agregaré una nota sobre esto.

— Vor

@Raphael: Lo codifiqué solo por diversión tratando de minimizar los símbolos de la cinta, y "parece" :-) funcionar, así que decidí publicarlo.

— Vor

@Vor. Muchas gracias por su aporte adicional en este problema. Todo esto me dice que necesito más práctica en estas cosas. Gracias por publicar su código fuente, a pesar de que la teoría era lo que buscaba.

— Four_FUN

@Four_FUN: el Rogozhin Universal TM (2,18) es una máquina Turing estándar (es decir, aparte de la entrada, su cinta inicial contiene solo símbolos en blanco) que simula un sistema arbitrario de 2 etiquetas (que es un modelo universal). El símbolo 2 del estado 3 es una máquina de Turing débilmente (la cinta inicial debe llenarse con una secuencia infinita de un patrón), y la "universalidad" se "alcanza" simulando la regla 110 del autómata celular (que ha demostrado ser Turing completo ) Hay una prueba (¿reclamada?) De que un TM estándar (2,3) no puede completarse en Turing.

— Vor

Respuesta tonta: su resultado promete que hay una máquina universal de Turing con dos estados. Construya cualquier TM para el lenguaje Dyck, calcule su índice y codifíquelo en la máquina universal.

Pero eso, por supuesto, no es muy satisfactorio. Su enfoque en realidad funciona si "engaña" la diferencia entre moverse hacia la izquierda y hacia la derecha al unir pares de paréntesis en una extensión del alfabeto. Necesitamos y versiones marcadas de todos los símbolos . $\{\#,(,),x\}$ $\hat{a}$ $a$

El estado inicial funciona de la siguiente manera. $q_0$

Cuando encuentre símbolos sin marcar, muévase hacia la derecha hasta encontrar el primero . Mientras lo hace, sobrescriba todos los símbolos con . Sobrescriba lo encontrado con . Si no hay , es decir, presionamos el símbolo de espacio , lo sobrescribimos con y a . $)$ $a$ $\hat{a}$ $)$ $\hat{x}$
$)$ $\#$ $\hat{x}$ $q_1$

Cuando encuentre símbolos marcados, muévase hacia la izquierda hasta encontrar el primer , sobrescribiendo todos los símbolos pasados (marcados) con sus variantes sin marcar. Sobrescriba el con . Si encontramos un o primero, bucle / rechazar¹. $\hat{(}$ $\hat{(}$ $x$
$\hat{)}$ $\#$
En , verificamos que todo haya coincidido; aún puede haber prefijos de la forma en la cinta. Es decir, moverse hacia la izquierda siempre que encontremos . Si así encontramos , acepte; si encontramos alguno otro símbolo pero primero, bucle / rechazar. $q_1$ $\hat{(}^+$ $\hat{x}$ $\#$ $\hat{x}$

Esto es correcto ya que la máquina coincide de adentro hacia afuera; en una entrada legal, solo hay entre el par de paréntesis que se está haciendo coincidir actualmente. $x$

— Rafael
fuente

Si no le importa que le pregunte, ¿cómo promete exactamente mi solución una TM universal con dos estados? (solución muy inteligente por cierto, gracias por su aporte)

— Four_FUN

@Four_FUN: porque usted dice en su pregunta: "... Uno de los mejores resultados teóricos es que a costa de un alfabeto (símbolos) potencialmente grande, puede reducir el número de estados a solo 2 ..." . .. para que también pueda elegir una máquina arbitraria Universal de Turing y reducir el número de estados a solo 2. Y si hace algunos experimentos, también se dará cuenta de que no es difícil hacer un procedimiento automático que convierta una TM arbitraria en un equivalente 2 estados TM (si no te importa minimizar el número de símbolos del alfabeto).

— Vor