Regularidad del medio exacto de las palabras de un lenguaje regular

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Dejar $L$ ser un lenguaje normal
Es el idioma $L_2 = \{y : \exists x,z\ \ s.t.|x|=|z|\ and\ xyz \in L \}$ ¿regular?

Sé que es muy similar a la pregunta aquí , pero el problema es que no es una simple subcadena de una palabra en un idioma normal, sino más bien un "medio exacto": tenemos que contar el prefijo y la longitud del sufijo.

Por lo tanto, supongo que no es regular, pero no pude encontrar una manera de demostrarlo. Tampoco se me ocurrió ninguna forma de modificar el NFA de $L$ aceptar $L_2$ .

formal-languages regular-languages closure-properties

— Tomer
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"medio exacto" parece sugerir

| x | = | y | = | z |

$|x|=|y|=|z|$ ? Por cierto, ¡eso también será regular!

— Hendrik ene

¿Has probado las cosas de nuestra pregunta de referencia ?

— Raphael

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Sugerencia: considere algunos DFA para $L$ . Para cada $n \geq 0$ , dejar $A_n$ ser el conjunto de estados $s$ tal que hay alguna palabra de longitud $n$ que lleva el DFA desde el estado inicial a $s$ . Dejar $B_n$ ser el conjunto de estados $t$ tal que hay alguna palabra de longitud $n$ que lidera el DFA de $t$ a un estado de aceptación. Finalmente, para cualesquiera dos estados $s,t$ , dejar $R_{s,t}$ ser el conjunto (regular) de palabras que llevan a la DFA de $s$ a $t$ . Tenemos

L_{2} = ⋃_{n \geq 0} ⋃_{\begin{matrix} s \in A_{n} \\ t \in B_{n} \end{matrix}} R_{s, t} .

$L_2 = \bigcup_{n \geq 0} \bigcup_{\substack{s \in A_n \\ t \in B_n}} R_{s,t}.$ Como solo hay muchas posibilidades para

s, t

$s,t$ , la unión es de hecho finita y tan regular.

— Yuval Filmus
fuente

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Dejar $D = (Q, Σ, δ, q_0, F)$ ser un DFA para $L$ . Sin pérdida de generalidad, asuma $q_S, q_F \notin Q$ . Construimos un ε-NFA $N = (Q ∪ \{q_S, q_F\}, Σ, Δ, q_S, \{q_F\})$ para $L_2$ de la siguiente manera:

Encuentra cada camino en $D$ desde $q_0$ a cualquier $f ∈ F$ . Para cada camino $p_k: q_0 = q_{k,0} \xrightarrow{α_{k,1}} q_{k,1} \xrightarrow{α_{k,2}} … \xrightarrow{α_{k,i}} q_{k,i} \xrightarrow{α_{k,i+1}} … \xrightarrow{α_{k,n_k}} q_{k,n_k}$ construir los caminos $p_k^{(i)} : q_{k,i} \xrightarrow{α_{k,i+1}} q_{k,i+1} \xrightarrow{α_{k,i+2}} … \xrightarrow{α_{k,n_k-i}} q_{k,n_k-i}$ para $0 \le i \le \frac{n_k}2$ (es decir, construir todas las "partes intermedias" del camino). Esto se puede hacer de manera efectiva. Construir $Δ$ combinando todos estos caminos, junto con:

$(q_S, ε, q_{k,i})$ para todos $i$ como anteriormente
$(q_{k, n_k-i}, ε, q_F)$ para todos $i$ como anteriormente

$L(N)$ Es regular por construcción.

Bosquejo de prueba que $L(N) = L_2$ : Dejar $w ∈ L(N)$ . Por construcción sabemos que $w$ debe coincidir al menos en uno de los caminos $p_k^{(i)}$ encima. Cada uno de este camino pertenece a un camino en $D$ , que contiene un prefijo adicional y un sufijo de longitud $i$ . Escoger $x$ como la palabra descrita por este prefijo y $y$ el descrito por el sufijo Encontramos eso $xwy ∈ L$ , con $|x| = |y| = i$ . Con un razonamiento similar encontramos para cada $w ∈ L_2$ un camino en $N$ . Dejar $i$ ser la longitud de $x$ y $y$ perteneciendo a $w$ . $p_k^{(i)}$ para algunos $k$ formas $w$ .

Así $L(N) = L_2$ .

— ipsec
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Dado que hay infinitos caminos, la observación "Esto se puede hacer efectivamente" parece necesitar alguna explicación. Tenga en cuenta que no es estrictamente necesario usar esa propiedad, vea la respuesta de Yuval, que (para mí) es una versión "no efectiva" del mismo argumento.

— Hendrik ene

Tienes razón. No es necesario considerar los bucles dos veces. El siguiente punto crítico parece ser que hay algunos

p_{k}^{(i)}

$p_k^{(i)}$ perteneciendo a

w

$w$ , al igual que al combinar los caminos, podrían surgir nuevos caminos. Verá que no he revisado a fondo mi prueba, pero creo que todos estos problemas podrían resolverse.

— ipsec