Dado un gráfico cordal , ¿cuál es la complejidad de calcular el gráfico de camarilla reducido ?

Un gráfico es cordal si no tiene ciclos inducidos de longitud o más. Un árbol clique de es un árbol en el que los vértices del árbol son la máxima camarillas de . Un borde en corresponde a un separador mínimo. El número de árboles de camarilla distintos puede ser exponencial en el número de vértices en un gráfico cordal.$G$$4$$T$$G$$G$$T$

El gráfico camarilla reducida es la unión de todos los árboles clique de . Es decir, tiene todos los mismos vértices y todos los bordes posibles. ¿Cuál es la complejidad de calcular para una dada ?$C_r(G)$$G$$C_r(G)$$G$

Creo que una vez vi una presentación que afirmaba que se puede calcular en tiempo sin prueba. Esto quiere decir que sea tan fácil como el cálculo de un árbol clique de . ¿Hay alguna referencia que confirme esto o proporcione un algoritmo más lento para calcularlo?$C_r(G)$$O(m+n)$$G$

La complejidad es O (nm) ... desde G calcule las camarillas máximas y conviértalas en vértices en su gráfico H (inicialmente sin aristas) ... luego calcule todos los separadores mínimos y ordénelos por tamaño ... elija el separador más grande S y haga dos camarillas C, C 'adyacentes en H (conéctelas por un borde con la etiqueta S) si C, C' contienen S y están en diferentes componentes conectados de H (inicialmente esto es siempre cierto, pero puede no será más tarde) ... luego elija el siguiente separador más grande y haga lo mismo ... repita hasta que se procesen todos los separadores ... el gráfico resultante H es el gráfico de camarilla reducido de G ... computar camarillas máximas y separadores mínimos toma O (n + m) ... hay camarillas O (n) y separadores O (n) ... el resto de la construcción es O (nm) ya que procesar cada separador puede llevar tiempo O (m) ... .. .esto no puede mejorarse por debajo de O (n ^ 2) a menos que pueda resolver el siguiente problema: dado un gráfico G encuentre dos vértices u, v de modo que N (u) contenga N (v) ... no se sabe que este último tenga Solución O (n + m) ... ... por lo tanto, es poco probable que sea posible un algoritmo O (n + m) para calcular gráficos de camarilla reducidos ...

ver la Sección 5 en M. Habib, J. Stacho: Algoritmo de tiempo polinómico para el follaje de gráficos cordales, En: Algorithms - ESA 2009, Lecture Notes in Computer Science 5757/2009, pp. 290-300. ( http://www.cs.toronto.edu/~stacho/public/leafage-esa1.pdf )