División equitativa del pastel bidimensional

Estoy interesado en los procedimientos para una división equitativa de la tierra (es decir, una división libre de envidia, o al menos una división proporcional).

A diferencia del problema bien estudiado de la división de la torta, la división de la tierra es bidimensional, es decir, las preferencias de los usuarios pueden variar tanto horizontal como verticalmente. Por lo tanto, no es práctico limitar el algoritmo a cortes paralelos.

La única referencia que encontré hasta ahora es Karthik Iyer y Michael Huhns, 2007 . Dicen que "hasta ahora no hemos encontrado ninguna solución constructiva (algorítmica) para el problema genérico de la división de tierras. Todos los documentos han ofrecido soluciones existenciales a versiones calificadas del problema".

Ellos mismos prueban un algoritmo O (n ^ 2) para la división proporcional de la tierra, con ciertas limitaciones (por ejemplo, cada uno de los n agentes debe marcar n regiones rectangulares con utilidad 1 / n, y si los rectángulos no se superponen demasiado, el algoritmo garantiza que cada agente obtenga uno de sus rectángulos).

¿Conoces alguna referencia más reciente sobre este problema? Estoy interesado específicamente en algoritmos prácticos, y pueden ser aproximados.

Los autores que cita tienen otro artículo sobre el tema .

¿Estaría satisfecho con un modelo que asume que las propiedades de las superficies a asignar pueden resumirse mediante un conjunto arbitrariamente grande pero finito de parámetros unidimensionales (por ejemplo, longitud, profundidad, punto más al norte, punto más al este, ... realmente como tantos como quieras pero finitos)?

Si esto es satisfactorio para usted, y está de acuerdo en suponer que las personas tienen preferencias sobre las superficies según lo descrito por los valores de estos parámetros, puede encontrar información útil en la teoría de la asignación equitativa de paquetes de bienes múltiples. Una gran introducción (y gratuita) es "Reglas de asignación justa" de William Thomson .

Por supuesto, cuando las dimensiones representan parámetros que describen las formas que se asignarán, es probable que tenga preferencias inusuales con las que es difícil trabajar y no encajan bien con los resultados existentes. Sin embargo, podría valer la pena intentarlo ...

Supongo que podría abordar el problema reduciendo la dimensionalidad del problema. Por ejemplo, podría dividir la tierra en áreas discretas (ya sea manualmente o usando un algoritmo adecuado). Luego, podría usar cualquier algoritmo unidimensional discreto, como el método de oferta Sellada descrito en http://www.colorado.edu/education/DMP/fair_division.html .

No encontré una respuesta adecuada, así que tuve que escribirla yo mismo . Fue la primera parte de mi doctorado. tesis. Todavía hay muchas preguntas abiertas en este campo.