¿Es el cálculo SK2 una base completa, donde K2 es el combinador de K invertido?

Específicamente, si un nuevo como lugar de sería el cálculo de {{S, K_2, I \} una base competitiva?$K_2$

Mi suposición es "no", solo porque parece que no puedo construir el combinador K normal a partir de los combinadores $S$ , $I$ y $K_2$ , pero no tengo un algoritmo que seguir, ni tengo una buena intuición. sobre hacer cosas de estos combinadores.

Parece que puedes definir

Mi intento de demostrar que no estaba funcionalmente completo esencialmente intentó construir exhaustivamente todas las funciones que se pueden obtener de estos combinadores para mostrar que alcanzas un callejón sin salida (una función que has visto antes) sin importar qué combinadores uses. Me doy cuenta de que esto no necesariamente será cierto para conjuntos de combinadores funcionalmente incompletos (por ejemplo, el combinador $K$ por sí solo nunca tendrá un punto muerto cuando se aplica a sí mismo), pero este fue mi mejor pensamiento. Siempre pude usar el combinador $S$ para escabullirme de lo que pensé que finalmente era un callejón sin salida, por lo que ya no estoy tan seguro de la viabilidad de este enfoque.

Hice esta pregunta en StackOverflow pero me animaron a publicarla aquí. Recibí algunos comentarios sobre esa publicación, pero no estoy seguro de haberlos entendido bien.

Bonificación: si no es una base completa, ¿el lenguaje resultante es Turing completo?

Considere los términos del cálculo $S,K_2,I$ como árboles (con nodos binarios que representan aplicaciones, y las hojas $S, K_2$ representan los combinadores.

Por ejemplo, el término $S(SS)K_2$ estaría representado por el árbol

        @
       / \
      /   \
     @    K2
    / \
   /   \
  S     @
       / \
      /   \
     S     S

A cada árbol $T$ asocia su hoja más a la derecha, la que obtienes al tomar la rama derecha en cada una @. Por ejemplo, la hoja más a la derecha del árbol de arriba es $K_2$ .

Como se puede ver en el arte ASCII a continuación, todas las reglas de reducción en el cálculo $S, K_2, I$ preservan la hoja más a la derecha.

         @                           @
        / \                         / \
       /   \                       /   \
      @     g    [reduces to]     @     @
     / \                         / \   / \
    /   \                       e   g f   g
   @     f                 
  / \
 /   \
S     e

      @
     / \
    /   \
   @     f    [reduces to]   f
  / \
 /   \
K2    e

A partir de ahí, es fácil ver que si algún término $T$ reduce a $T'$ , entonces $T$ y $T'$ tienen la misma hoja más a la derecha. Por lo tanto, no hay término $T$ en el cálculo $S, K_2, I$ modo que $TK_2S$ reduzca a $K_2$ . Sin embargo, $KK_2S$ reduce a $K_2$ , por lo tanto, $K$ no puede expresarse en el cálculo $S,K_2, I$

EDITAR: Como señalan los comentarios, esta es solo una respuesta parcial, ya que se aplica solo al cálculo simple de $S,K_2,I$ (o más bien, muestra que no hay una definición posible de K que no contenga un subterm mal escrito). Si no hay objeción, no la eliminaré, ya que presenta una técnica de prueba muy productiva para la configuración escrita.

Recuerde que nuestros combinadores tienen los siguientes tipos (estilo Curry, por lo que $A,B,C$ son variables):

• $K: A \rightarrow B \rightarrow A$
• $K_2: A \rightarrow B \rightarrow B$
• $S: (A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C)$
• $I: A \rightarrow A$

$K$$I,S,K_2$$A \rightarrow B \rightarrow B, (A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C), A \rightarrow A$$A$$A \rightarrow B$$B$$A \rightarrow B \rightarrow A$

t,f,u$\rightarrow$$A \rightarrow B \rightarrow B$$(A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C)$$A \rightarrow A$t

A B | A -> B
t t | t
t f | f
f t | t
f f | t
t u | f
f u | t
u t | t
u f | f
u u | t

$K_2, S, I$tt$A \rightarrow B \rightarrow A$fu$A$t$B$$S, K_2, I$