¿Prueba de contradicción para la desigualdad de P y NP?

Estoy tratando de argumentar que N no es NP igual usando teoremas de jerarquía. Este es mi argumento, pero cuando se lo mostré a nuestro maestro y después de la deducción, dijo que esto es problemático cuando no puedo encontrar una razón convincente para aceptar.

Comenzamos asumiendo que . Luego produce que a su vez sigue a . Tal como están las cosas, podemos reducir todos los idiomas en a . Por lo tanto, . Por el contrario, el teorema de la jerarquía de tiempo establece que debe haber un lenguaje , que no está en . Esto nos llevaría a concluir que está en , mientras que no está en , lo cual es una contradicción con nuestra primera suposición. Entonces, llegamos a la conclusión de que . $P=NP$ $\mathit{SAT} \in P$ $\mathit{SAT} \in TIME(n^k)$ $NP$ $\mathit{SAT}$ $NP \subseteq TIME(n^k)$ $A \in TIME(n^{k+1})$ $TIME(n^k)$ $A$ $P$ $NP$ $P \neq NP$

¿Hay algo mal con mi prueba?

complexity-theory time-complexity p-vs-np

— índice_invertido
fuente

Por favor, escribe algo como en $\mathit{SAT}$ lugar de $SAT$ . Como Leslie Lamport escribió en su libro original de LaTeX, este último representa S veces A veces T.

— Oliphaunt - reinstala a Mónica el

Mejor aún, use el complexitypaquete y simplemente escriba \SAT. (Supongo que eso no está disponible en esta pila, sin embargo.)

— Oliphaunt - reinstalar a Monica el

@Oliphaunt ¿Por qué no sugerir una edición cuando puede mejorar la publicación? Aunque debo decir que aquí la diferencia (si la hay) es mucho más sutil de lo que esperaba.

— Lagarto discreto

@Discretelizard A menudo lo hago, pero esta vez fue "demasiado trabajo" (estaba / estoy en el móvil). Introducir todos esos $ y \ es un trabajo complicado. Elegí educar en su lugar. (Esta decisión puede no haber sido completamente racional.)

— Oliphaunt - reinstalar a Mónica el

Respuestas:

Luego produce ese que luego sigue ese . $SAT \in P$ $SAT \in TIME(n^k)$

Seguro.

Tal como están las cosas, podemos reducir todos los idiomas en a . Por lo tanto, . $NP$ $SAT$ $NP \subseteq TIME(n^k)$

No. Las reducciones de tiempo polinómico no son gratuitas. Podemos decir que lleva tiempo reducir el lenguaje a , donde es el exponente en la reducción de tiempo polinómica utilizada. Aquí es donde su argumento se desmorona. No hay finita tal que para todo tengamos . Al menos esto no se deduce de y sería una afirmación mucho más fuerte. $O(n^{r(L)})$ $L$ $SAT$ $r(L)$ $k$ $L \in NP$ $r(L) < k$ $P = NP$

Y esta afirmación más fuerte de hecho entra en conflicto con el teorema de la jerarquía de tiempo, que nos dice que no puede colapsar en , y mucho menos . $P$ $TIME(n^k)$ $NP$

— orlp
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No es solo el momento de la reducción en sí. Podría reducir a un problema mayor. Si puedo resolver X en O (n ^ 5), y puedo reducir un problema en Y en O (n ^ 6) a una instancia de X de tamaño O (n ^ 3), entonces necesito O (n ^ 15) en total.

— gnasher729

Divertidamente, este argumento se aplica también a los problemas completos de PTIME, por ejemplo, HORNSAT, que se puede resolver en tiempo lineal (pero no todos los problemas en P son tiempo lineal).

— cody

Supongamos que . Según la versión no determinista del teorema de la jerarquía de tiempo, para cualquier , hay un problema que no está en . Este es un resultado incondicional que no depende de ningún tipo de suposición, como $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{NTIME}[n^k]$ $r$ $X_r\in\mathrm{NTIME}[n^r]$ $\mathrm{NTIME}[n^{r-1}]$ $\mathrm{P}\neq\mathrm{NP}$

Elija cualquier . Supongamos que tenemos una reducción determinista de a que se ejecuta en el tiempo . Produce una instancia de tamaño como máximo , que puede resolverse a tiempo como máximo . Al elegir , debemos tener , entonces . Esta función crece sin límite con . $r>k$ $X_r$ $\mathrm{3SAT}$ $n^t$ $\mathrm{3SAT}$ $n^t$ $(n^t)^k=n^{tk}$ $X_r$ $tk>r-1$ $t>(r+1)/k$ $r$

Esto significa que no hay límite en cuanto al tiempo que puede tomar reducir un problema arbitrario de a . Incluso si , todavía no hay límite sobre cuánto tiempo pueden llevar esas reducciones. Entonces, en particular, incluso si para algunas , no podemos concluir que , o incluso para algunas . $\mathrm{NP}$ $\mathrm{3SAT}$ $\mathrm{3SAT}\in \mathrm{P}$ $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ $k'$ $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k''}]$ $k''>k'$

— David Richerby
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