Lenguaje libre de estrellas versus lenguaje regular

Me preguntaba, ya que $a^*$ es en sí mismo un lenguaje sin estrellas, ¿existe un lenguaje normal que no sea un idioma sin estrellas? ¿Podrías dar un ejemplo?

(de wikipdia ) Lawson define lenguajes sin estrellas como:

Se dice que un lenguaje regular no tiene estrellas si puede describirse mediante una expresión regular construida a partir de las letras del alfabeto, el símbolo de conjunto vacío, todos los operadores booleanos, incluida la complementación, y la concatenación, pero no la estrella de Kleene.

Aquí está la prueba de $a^*$ ser libre de estrella:

$\emptyset$ está libre de estrellas$\Longrightarrow$
$\Sigma^*=\bar{\emptyset}$ está libre de estrellas$\Longrightarrow$
Si$A\subseteq\Sigma$ entonces$\Sigma^*A\Sigma^*$ está libre de estrellas$\Longrightarrow$
Si$A\subseteq\Sigma$ entonces$A^*=\overline{\Sigma^*(\Sigma \setminus A)\Sigma^*}$ es sin estrellas

$A^*=\overline{\Sigma^*(\Sigma \setminus A)\Sigma^*}$$A^*$$\Sigma \setminus A$

Los lenguajes regulares son aquellos que pueden describirse mediante una lógica monádica de segundo orden débil (WMSO) [1].

$<$

$(aa)^*$

1. Débitos aritméticos de segundo orden y autómatas finitos de Büchi (1960)
2. Autómatas sin mostrador de McNaughton y Papert (1971)

3. $(aa)^*$

   $\ \begin{align} \bigl[ \forall x. P_a(x)\bigr] \land \Bigl[ \exists x. P_a(x) \to \bigl[ \exists X. X(0) &\land [\forall x,y. X(x) \land \operatorname{suc}(x,y) \to \lnot X(y)] \\ &\land [\forall x,y. \lnot X(x) \land \operatorname{suc}(x,y) \to X(y)] \\ &\land [\forall x. \operatorname{last}(x) \to \lnot X(x)] \bigr] \Bigr] \;. \end{align}$

   $X$

4. Ver también aquí .

Schützenberger (1965) dio una caracterización algebraica de los lenguajes libres de estrellas: un lenguaje regular está libre de estrellas si y solo si su monoide sintáctico es aperiódico. Contrariamente a la caracterización lógica (sin estrellas = FO [<]), esta caracterización algebraica proporciona un algoritmo para decidir si un lenguaje regular dado está libre de estrellas (el lenguaje regular puede ser dado por un autómata finito, una expresión regular o un gramática regular). Usando la caracterización lógica (debido a McNaughton y Papert), uno puede decidir el siguiente problema: dada una fórmula WMSO, ¿hay una fórmula FO que describa el mismo lenguaje?

M.-P. Schützenberger, Sobre monoides finitos que tienen solo subgrupos triviales, Información y Control 8 (1965), 190-194.

R. ~ McNaughton y S. ~ Papert, Autómatas sin mostrador, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, Londres, 1971.

Se puede encontrar una prueba completa del teorema de Schützenberger en varios libros de texto o en encuestas. Para una presentación elemental del algoritmo correspondiente (sin una prueba), vea

J.-É. Pin, semigrupos finitos e idiomas reconocibles: una introducción, en Semigrupos del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN, Idiomas y grupos formales , J. Fountain (éd.), 1-32, Editores académicos de Kluwer, (1995).

Los lenguajes libres de estrellas se describen mediante expresiones regulares que incluyen concatenación, complementación, unión, intersección, pero no Kleene-star.

Dado que los idiomas regulares están cerrados en todas estas operaciones (donde la complementación es el punto crucial), entonces cada lenguaje sin estrellas también es regular.

¿Quizás te refieres a lo contrario? ¿Están todos los idiomas normales sin estrellas? La respuesta a esto último es no. Vea este documento para más detalles.

Un ejemplo de separación simple es (aa) *. Más sofisticado: todas las cadenas binarias con paridad par (o impar).