¿Detectar progresiones aritméticas "doblemente" es 3SUM-hard?

Esto está inspirado en una pregunta de entrevista .

Se nos da una matriz de enteros y tenemos que determinar si hay distintos manera que$a_1, \dots, a_n$$i \lt j \lt k$

• $a_k - a_j = a_j - a_i$
• $k - j = j - i$

es decir, las secuencias y están ambas en progresión aritmética.$\{a_i, a_j, a_k\}$$\{i,j,k\}$

Hay un algoritmo fácil para esto, pero parece difícil encontrar un algoritmo subcuadrático.$O(n^2)$

¿Es este un problema conocido? ¿Podemos demostrar la dureza 3SUM de esto? (o tal vez proporcionar un algoritmo sub-cuadrático?)

Si lo desea, puede suponer y que para alguna constante conocida . (En el problema de la entrevista, ).$0 \lt a_1 \lt a_2 \lt ... \lt a_n$$a_{r+1} - a_{r} \le K$$K > 2$$K = 9$

Este es un problema abierto.

Posiblemente se podría probar alguna forma débil de dureza 3SUM adaptando un resultado del documento STOC 2010 de Mihai Pătrașcu " Hacia límites polinómicos inferiores para problemas dinámicos ". Primero, permítanme definir una secuencia de problemas estrechamente relacionados. La entrada a cada problema es una matriz ordenada de enteros distintos.$A[1..n]$

• 3SUM: ¿Hay índices distintos tales que ?$i,j,k$$A[i] + A[j] = A[k]$

• Convolución3SUM: ¿Hay índices tales que ?$i<j$$A[i] + A[j] = A[i+j]$

• Promedio: ¿Hay índices distintos manera que ?$i,j,k$$A[i] + A[j] = 2 A[k]$

• Promedio de convolución: ¿Hay índices tales que ? (Este es el problema que estás preguntando).$i<j$$A[i] + A[j] = 2A[(i+j)/2]$

En mi tesis doctoral, probé que los cuatro problemas requieren tiempo en un modelo de cálculo de árbol de decisión que solo permite consultas de la forma "Is positivo, negativo o cero? ", donde$\Omega(n^2)$$\alpha A[i] + \beta A[j] + \gamma A[k] + \delta$$\alpha,\beta,\gamma,\delta$$A[i] + A[j]$$A[k]$$\Omega(n^2)$veces. Ese límite inferior no excluye los algoritmos subcuadráticos en un modelo de cómputo más general; de hecho, es posible eliminar algunos factores de registro en varios modelos de RAM entera. Pero nadie sabe qué tipo de modelo más general ayudaría de manera más significativa.

$\Omega(n^2/f(n))$$f$$\Omega(n^2/f^2(n\cdot f(n)))$$O(n^{1.8})$$O(n^{1.9})$

$\Omega(n^2/f(n))$$f$$\Omega(n^2/f^2(n\cdot f(n)))$

$\Omega(n^2)$$\Omega(n^2)$

$K$$O(n \log n)$

$B[0..Kn]$$B[i]=1$$A[1]+i$$A$$B$$O(Kn\log Kn) = O(n\log n)$$j$$A$$2A[1] + j$$A[i]+A[j]$$O(n)$$O(n)$ tiempo.

¡Pero no conozco un truco similar para Convolution3SUM o ConvolutionAverage!