¿Podemos generar números aleatorios usando números irracionales como π y e?

Los números irracionales como , y tienen una secuencia única y no repetitiva después del punto decimal. Si extraemos el dígitos -ésimo de dichos números (donde es el número de veces que el método se llama) y hacer un número con los dígitos tal como es, no hemos de conseguir un generador de números aleatorios perfecto? Por ejemplo, si estamos usando , y , el primer número es 123, el segundo es 471, el siguiente es 184 y así sucesivamente.$\pi$$e$$\sqrt{2}$$n$$n$$\sqrt{2}$$e$$\pi$

La desventaja más obvia es la complejidad innecesaria de los algoritmos PRNG basados ​​en números irracionales. Requieren muchos más cálculos por dígito generado que, por ejemplo, un LCG; y esta complejidad generalmente crece a medida que avanza en la secuencia. Calcular 256 bits de π en el bit dos billonésimo tomó 23 días en 1000 computadoras (en 2010), una complejidad bastante prohibitiva para un RNG.

Para cualquier definición razonable de perfecto, el mecanismo que describe no es un generador de números aleatorios perfecto.

• No repetir no es suficiente. El número decimal no se repite, pero es un terrible generador de dígitos aleatorios, ya que la respuesta es "siempre" cero, ocasionalmente uno, y nunca otra cosa.$0.101001000100001\dots$

• En realidad, no sabemos si cada dígito ocurre con la misma frecuencia en la expansión decimal de $\pi$ o  $\mathrm{e}$ (aunque sospechamos que sí).

• En muchas situaciones, exigimos que los números aleatorios sean impredecibles (de hecho, si le pregunta a una persona aleatoria qué significa "aleatorio", probablemente diría algo sobre la imprevisibilidad). Los dígitos de constantes bien conocidas son totalmente predecibles.

• Por lo general, queremos generar números aleatorios razonablemente rápido, pero generar dígitos sucesivos de constantes matemáticas tiende a ser bastante costoso.

• Sin embargo, es cierto que los dígitos de $\pi$ y  $\mathrm{e}$ parecen estadísticamente aleatorios, en el sentido de que cada posible secuencia de dígitos parece ocurrir tan a menudo como debería. Entonces, por ejemplo, cada dígito ocurre muy cerca de una vez en diez; cada secuencia de dos dígitos muy cerca de uno en cien, y así sucesivamente.

Es criptográficamente inútil porque un adversario puede predecir cada dígito. También consume mucho tiempo.

( actualizado después de que muchas personas señalaron que el generador de números aleatorios no es lo mismo que una sola secuencia normal)

$\pi$

$\pi$

Para obtener datos de distribución de dígitos, consulte, por ejemplo, http://www.eveandersson.com/pi/precalculated-frequencies o https://thestarman.pcministry.com/math/pi/RandPI.html (primeros 1000 dígitos):

En Mathoverflow, también hay buenas respuestas en:

• ¿Cuál es el estado de nuestra ignorancia sobre la normalidad de pi?
• ¿Pi contiene 1000 ceros consecutivos?

En general, este enfoque no funciona: "aleatoriedad" no significa que obtenga muchos dígitos diferentes, pero también hay otros aspectos. Por ejemplo, una prueba clásica es ver si todas las combinaciones de dos dígitos o tres dígitos, etc. ocurren con la misma frecuencia. Esta sería una prueba muy simple, que puede descartar resultados obvios no aleatorios, pero sigue siendo demasiado simplista para verificar un comportamiento realmente aleatorio.

Vea la página de Wikipedia sobre las pruebas de aleatoriedad como una colección de enlaces a fuentes primarias sobre esto. Mencionan una buena cantidad de conceptos que suenan bastante complicados; no es tan importante entrar en detalles sobre esto, pero está claro que no es intuitivamente posible declarar un número específico como una buena fuente para tales dígitos.

En una nota positiva: para un número irracional específico, por supuesto, es libre de probarlo; es decir, calcule el número en un grado suficientemente grande de dígitos y ejecútelo a través de todas las pruebas conocidas (existen herramientas para eso, consulte el enlace anterior). Si la medida es lo suficientemente buena para su caso de uso, y si es consciente de que esto es obviamente inútil para aplicaciones criptográficas, y siempre obtiene los mismos números si debe comenzar de nuevo, y que la calidad podría degradarse si supera el nelegido para probar la aleatoriedad, puede usar esos números. Pero será mucho mejor usar un generador de números aleatorio (pseudo-) dedicado; y nada supera una buena fuente física de aleatoriedad.

Proporciona un buen número aleatorio hasta que te das cuenta de cómo se produjo, como ocurre con muchos números pseudoaleatorios. Los números irracionales (no algebraicos y no trascendentales) que ha elegido son comunes y son más fáciles de adivinar que otros. No veo ningún problema con este método, siempre que elija generadores menos comunes.