Suma ponderada de los últimos N números

Supongamos que estamos recibiendo números en una secuencia. Después de recibir cada número, se debe calcular una suma ponderada de los últimos $N$ números, donde los pesos son siempre los mismos, pero arbitrarios.

¿Cuán eficiente puede hacerse esto si se nos permite mantener una estructura de datos para ayudar con el cálculo? ¿Podemos hacer algo mejor que $\Theta(N)$ , es decir, volver a calcular la suma cada vez que se recibe un número?

Por ejemplo: Supongamos que los pesos son $W= \langle w_1, w_2, w_3, w_4\rangle$ . En un momento tenemos la lista de los últimos $N$ números $L_1= \langle a, b, c, d \rangle>$ , y la suma ponderada $S_1=w_1*a+w_2*b+w_3*c+w_4*d$ .

Cuando otro número, $e$ es recibido,, actualizamos la lista para obtener $L_2= \langle b,c,d,e\rangle$ y tenemos que calcular $S_2=w_1*b+w_2*c+w_3*d+w_4*e$ .

Consideración usando FFT Un caso especial de este problema parece resolverse eficientemente empleando la Transformada Rápida de Fourier. Aquí, calculamos las sumas pesadas $S$ en múltiplos de $N$ . En otras palabras, recibimos $N$ números y solo entonces podemos calcular las $N$ sumas pesadas correspondientes . Para hacer esto, necesitamos $N-1$ números pasados ​​(para los cuales ya se han calculado sumas), y $N$ nuevos números, en total $2N-1$ números.

Si este vector de números de entrada y el vector de peso $W$ definen los coeficientes de los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ , con los coeficientes en $Q$ invertidos, vemos que el producto $P(x)\times Q(x)$ es un polinomio cuyos coeficientes delante de $x^{N-1}$ hasta $x^{2N-2}$ son exactamente las sumas ponderadas que buscamos. Estos se pueden calcular utilizando FFT en $\Theta(N*\log (N))$ tiempo, que nos da un promedio de$Θ(\log (N))$tiempo por número de entrada.

Sin embargo, esta no es una solución al problema como se indicó, porque se requiere que la suma ponderada se calcule eficientemente cada vez que se recibe un nuevo número; no podemos retrasar el cálculo.

Aquí hay una elaboración de su enfoque. Cada iteraciones, utilizamos el algoritmo FFT para calcular los valores de la convolución en el tiempo , suponiendo que los valores subsiguientes sean cero. En otras palabras, estamos calculando donde son los pesos (o los pesos inversos), es la secuencia de entrada, es la hora actual y para .m O ( n log n ) m n - 1 ∑ i = 0 w i a t - i + k$m$$m$$O(n\log n)$$m$w i n a i t a t ′ = 0 t ′ >

$$\sum_{i=0}^{n-1} w_i a_{t-i+k}, \quad 0 \leq k \leq m-1,$$ $w_i$$n$$a_i$$t$$a_{t'} = 0$$t' > t$

Para cada uno de los siguientes iteraciones, somos capaces de calcular la convolución requerida en el tiempo (el ésimo iteración necesita tiempo ). Entonces el tiempo amortizado es . Esto se minimiza eligiendo , que proporciona un tiempo de ejecución amortizado de .$m$$O(m)$$i$$O(i)$$O(m) + O(n\log n/m)$$m = \sqrt{n\log n}$$O(\sqrt{n\log n})$

Podemos mejorar esto al peor tiempo de ejecución de dividiendo el cálculo en partes. Arregle , y defina Cada depende solo de entradas de , por lo que se puede calcular en el tiempo . Además, dado para , podemos calcular la convolución en el tiempo . Por lo tanto, el plan es mantener la lista Para cada período de$O(\sqrt{n\log n})$$m$

$$b_{T,p,o} = \sum_{i=0}^{m-1} w_{pm+i} a_{Tm-i+o}, \quad C_{T,p} = b_{T,p,0}, \ldots, b_{T,p,m-1}.$$ $C_{T,p}$$2m$$O(m\log m)$$C_{\lfloor t/m \rfloor-p,p}$$0 \leq p \leq n/m-1$$O(n/m + m)$ $$C_{\lfloor t/m \rfloor-p,p}, \quad 0 \leq p \leq n/m-1.$$ $m$entradas, necesitamos actualizar de estas. Cada actualización lleva tiempo , por lo que si distribuimos estas actualizaciones de manera uniforme, cada entrada tomará trabajo . Junto con el cálculo de la propia convolución, la complejidad de tiempo por entrada es . Al elegir como antes, esto da .$n/m$$O(m\log m)$$O((n/m^2) m\log m) = O((n/m) \log m)$$O((n/m)\log m + m)$$m = \sqrt{n\log n}$$O(\sqrt{n\log n})$