¿Existe un código binario con longitud 6, tamaño 32 y distancia 2?

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El problema es probar o refutar la existencia de , st, ; ; . ( significa distancia de hamming) $C$ $|c| = 6,\forall c\in C$ $|C| = 32$ $d(c_i,c_j)\geq2,1\leq i<j\leq32$ $d$

Traté de construir un código satisfactorio. Lo mejor que puedo obtener es dejar que $C = C'\times C'$ , una concatenación de $C' = \{000,011,110,101\}$ , que es del tamaño 16. 32 pasa a ser el límite superior teórico del tamaño, ahora no No sé qué hacer a continuación para resolver el problema.

information-theory coding-theory encoding-scheme

— Miangu
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Sí, existe tal conjunto. De hecho, estás en el camino correcto para encontrar el siguiente ejemplo.

Deje . Puedes verificar lo siguiente. $C = \{c : |c|=6 \text{ and there are even number of 1's in c}\}$

$|C|=32$ .
$d(u,v)\geq2$ para todos , . (De hecho, o 4 o 6.) $u,v\in C$ $u\not=v$ $d(u,v)=2$

Aquí hay cuatro ejercicios relacionados, enumerados en el orden de dificultad creciente. Como en la pregunta, solo se trata del código binario.

Ejercicio 1. Dé otro ejemplo de un conjunto de 32 palabras de longitud 6 y distancia por pares al menos 2.

Ejercicio 2. Demuestre que solo hay dos conjuntos de este tipo, como se indica en la respuesta y en el ejercicio 1.

Ejercicio 3. Generalice lo anterior a palabras de cualquier longitud y distancia en pares al menos 2. (Sugerencia, .) $32=2^{6-1}$

Ejercicio 4. (una mayor generalización indicada en la respuesta de Yuval) Si es el tamaño máximo de un código de longitud y la distancia mínima en pares , entonces . $A(n,d)$ $n$ $d$ $A(d,2d)=A(n-1,2d-1)$

— John L.
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Creo que también puede ser 6, específicamente para y , ya que tanto como porque ambos tienen un número par de 1. ¿O me estoy perdiendo algo?

d (u, v)

$d(u,v)$

u = 000000

$u=000000$

v = 111111

$v=111111$

u \in C

$u\in C$

v \in C

$v\in C$

— siegi

@siegi, gracias. Actualizado.

— John L.

@Miangu, ¿es útil mi respuesta? ¿Has considerado aceptarlo?

— John L.

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Todas las palabras de paridad par de un código lineal con palabras de código y distancia mínima . $2^{n-1}$ $2$

Más generalmente, si es el tamaño máximo de un código de longitud y distancia mínima , entonces . $A_2(n,d)$ $n$ $d$ $A_2(n,2d) = A_2(n-1,2d-1)$

— Yuval Filmus
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Buen hecho, votado. Por cierto, ¿por qué no solo lugar de ? Oh dos letras.

A (n, d)

$A(n,d)$

A_{2} (n, d)

$A_2(n,d)$

— John L.

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El subíndice significa el campo .

F_{2}

$\mathbb{F}_2$

— Yuval Filmus