Número de palabras de una longitud dada en un idioma regular

¿Existe una caracterización algebraica del número de palabras de una longitud dada en un idioma normal?

Wikipedia establece un resultado algo impreciso:

Para cualquier lenguaje regular $L$ existen constantes $\lambda_1,\,\ldots,\,\lambda_k$ y polinomios$p_1(x),\,\ldots,\,p_k(x)$ tal que para cada$n$ el número$s_L(n)$ de palabras de longitud$n$ en$L$ satisface la ecuación $s_L(n)=p_1(n)\lambda_1^n+\dotsb+p_k(n)\lambda_k^n$ .

No es lo que declaró el espacio $\lambda$ en vivo en ( $\mathbb{C}$ , supongo) y si se requiere la función de tener valores enteros no negativos sobre la totalidad de $\mathbb{N}$ . Me gustaría una declaración precisa y un boceto o referencia para la prueba.

Pregunta adicional: ¿es verdad lo contrario, es decir, dada una función de esta forma, siempre hay un lenguaje regular cuyo número de palabras por longitud es igual a esta función?

_{Esta pregunta generaliza Número de palabras en el idioma normal $(00)^*$}

Dado un lenguaje regular , considere algunos DFA que acepten L , que A sea ​​su matriz de transferencia ( A i j es el número de bordes que conducen del estado i al estado j ), que x sea ​​el vector característico del estado inicial y que y ser el vector característico de los estados de aceptación. Entonces s L ( n ) = x T A n y $L$$L$$A$$A_{ij}$$i$$j$$x$$y$

$$s_L(n) = x^T A^n y.$$

El teorema de Jordan establece que sobre los números complejos, es similar a una matriz con bloques de una de las formas ( λ ) , ( λ 1 0 λ ) , ( λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ ) , ( λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ ) , … Si λ ≠ 0 , entonces el $A$

$$\begin{pmatrix} \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \ldots$$ $\lambda \neq 0$$n$Las potencias de estos bloques son Así es como llegamos a estas fórmulas: escribir el bloque comoB=λ+N. Los poderes sucesivos deNson diagonales secundarias sucesivas de la matriz. Usando el teorema binomial (usando el hecho de queλconmuta conN), Bn=(λ+n)N= $$\begin{pmatrix} \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2} \lambda^{n-2} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} & \binom{n}{3}\lambda^{n-3} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} \\ 0 & 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \ldots$$ $B = \lambda + N$$N$$\lambda$$N$ Cuandoλ=0, el bloque es nilpotente, y obtenemos las siguientes matrices (la notación[n=k]es1sin=ky0 de locontrario): ( [ n = 0 ] ),( [ n = 0 ] [ n = 1 ] 0 [ n = $$B^n = (\lambda + n)^N = \lambda^n + n \lambda^{n-1} N + \binom{n}{2} \lambda^{n-2} N^2 + \cdots.$$ $\lambda = 0$$[n = k]$$1$$n=k$$0$ $$\begin{pmatrix} [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] \\ 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] & [n=3] \\ 0 & [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}$$

$A^n$$\binom{n}{k} \lambda^{n-k}$$[n=k]$

$$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i^n + \sum_j c_j [n=j],$$ para algún complejo $\lambda_i,c_j$ y polinomios complejos $p_i$. En particular, para lo suficientemente grande$n$, $$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i^n.$$ Esta es la declaración precisa del resultado.

Podemos seguir y obtener información asintótica sobre $s_L(n)$, pero esto es sorprendentemente no trivial. Si hay un único$\lambda_i$ de mayor magnitud, digamos $\lambda_1$, luego

$$s_L(n) = p_1(n) \lambda_1^n (1 + o(1)).$$ Las cosas se vuelven más complicadas cuando hay varias $\lambda$s de mayor magnitud. Sucede que su ángulo debe ser racional (es decir, hasta su magnitud, son raíces de la unidad). Si el MCM de los denominadores es$d$, entonces las asíntotas de $s_L$ será muy de acuerdo con el resto de $n$ módulo $d$. Para algunos de estos residuos, todos$\lambda$s de mayor magnitud se cancelan, y luego las asintóticas "caen", y tenemos que repetir este procedimiento. El lector interesado puede verificar los detalles en Flajolet y Sedgewick's Analytic Combinatorics , Teorema V.3. Prueban que para algunos$d$enteros $p_0,\ldots,p_{d-1}$ y reales $\lambda_0,\ldots,\lambda_{d-1}$, $$s_L(n) = n^{p_{n\pmod{d}}} \lambda_{n\pmod{d}}^n (1 + o(1)).$$

Dejar $L \subseteq \Sigma^*$ un lenguaje regular y

$\qquad \displaystyle L(z) = \sum\limits_{n \geq 0} |L_n|z^n$

su función generadora , donde$L_n = L \cap \Sigma^n$ y entonces $|L_n|=s_L(n)$.

Se sabe que $L(z)$es racional , es decir

$\qquad \displaystyle \frac{P(z)}{Q(z)}$

con $P,Q$polinomios; esto se ve más fácilmente traduciendo una gramática lineal derecha para$L$ en un sistema de ecuaciones (¡lineal!) cuya solución es $L(z)$.

Las raíces de $Q$ son esencialmente responsables de la $|L_n|$, lo que lleva al formulario indicado en Wikipedia. Esto está inmediatamente relacionado con el método de polinomios característicos para resolver las recurrencias (a través de la recurrencia que describe$(|L_n|)_{n \in \mathbb{N}}$)