¿Lenguajes decidibles y gramáticas sin restricciones?

Las máquinas de Turing y las gramáticas sin restricciones son dos formalismos diferentes que definen los lenguajes RE. Algunos lenguajes RE son decidibles, pero no todos lo son.

Podemos definir los idiomas decidibles con las máquinas de Turing diciendo que un idioma es decidible si hay una TM para el idioma que detiene y acepta todas las cadenas en el idioma y detiene y rechaza todas las cadenas que no están en el idioma. Mi pregunta es esta: ¿existe una definición análoga de lenguajes decidibles basados en gramáticas sin restricciones en lugar de máquinas de Turing?

computability turing-machines formal-grammars

— templatetypedef
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Respuestas:

Un lenguaje es decidible, si es semi-decidible y su complemento es semi-decidible. Además, un lenguaje es recursivo-enumerable si es semi-decidible y, por lo tanto, puede encontrar una gramática sin restricciones. Por lo tanto:

Un lenguaje se iff decidable hay tanto una sin restricciones gramática con y un sin restricciones Gramática con . $L$ $G$ $L(G) = L$ $\bar G$ $L(\bar G) = \bar L$

— Simon S
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Además, ¿no son sinónimos "semi-decidables" y "recursivamente enumerables"?

— templatetypedef

1. IIRC no hay una clase conocida de gramáticas formales que correspondan a lenguajes decidibles, por lo que no creo que esto sea posible con una gramática sin restricciones. 2. Sí, resultan significar lo mismo.

— Simon S

Estás equivocado acerca de la definición de decidibilidad. Decidible significa "hay una máquina de Turing que calcula la respuesta". La relación que cita como definición es, de hecho, un teorema, que he escuchado atribuido a Emile Post.

— Andrej Bauer

Luego, la semidecidabilidad y la enumeración recursiva no son sinónimos, pero son nociones equivalentes. Un conjunto es semidecida si es el conjunto de detención de una máquina de Turing, mientras que es recursivamente enumerable si lo enumera una máquina de Turing.

— Andrej Bauer

1. Tienes razón, la capacidad de decisión no se define necesariamente de esa manera (pero puede serlo) y, por lo tanto, edité la respuesta. 2. Es por eso que escribí "suceden que significan lo mismo", tal vez "sinónimo" es la palabra incorrecta.

— Simon S

No puede haber una clase útil de gramáticas para (el conjunto de lenguajes recursivos), ya que $\mathrm{R}$

cada clase útil de gramáticas es enumerable, y
$\mathrm{R}$ no es semidecidible o, equivalentemente, no enumerable.

El primero obviamente no es un teorema riguroso (y no puede serlo), es solo una conjetura de juicio. El conjunto de todas las gramáticas es enumerable, y cualquier restricción que no sea decidible probablemente no sea muy útil en sí misma; en particular no será una restricción sintáctica (como la de Chomsky).

El segundo es formalmente cierto, ver también aquí .

Por supuesto, las personas han definido tales restricciones , y esas clases tienen sus usos, pero incluso es difícil ver si una gramática dada cae en subclases más simples.

— Rafael
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¿Por qué este argumento no se aplica también a las máquinas de Turing? Hay una clase útil de TM para R (los decisores) a pesar de que no son enumerables.

— templatetypedef

@templatetypedef: El pensamiento cruzó por mi mente. 1) El conjunto de máquinas de Turing para R es algo "intangible". Podría decirse que no es "útil" en ningún otro sentido que no sea el más teórico. 2) El TM es un modelo operativo, mientras que las gramáticas son más un modelo declarativo (aunque generativo). Por lo tanto, es poco probable que exista incluso una propiedad tan "inútil" como la de los R-TM. (Nuevamente, todo esto es un balbuceo basado en la intuición.)

— Raphael

Esta pregunta se aborda en un documento de Henning Fernau de 1994. Henning afirma:

Como ejemplo, consideramos la familia de lenguajes recursivos. Es una pregunta abierta si existe una caracterización gramatical 'natural' de esta clase de lenguaje. Como mostraremos a continuación, cualquier familia de gramática que caracterice los lenguajes recursivos debe tener algunas propiedades extrañas.

Dirigimos al lector que tiene curiosidad por aprender sobre esas extrañas propiedades del artículo.

— Yuval Filmus
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