Mostrar que un problema en X no es X-Complete

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La teoría existencial de los Reales está en PSPACE , pero no sé si es PSPACE-Complete . Si creo que no es así, ¿cómo podría probarlo?

De manera más general, dado un problema en cierta complejidad clase X , ¿cómo puedo demostrar que es no X-Completa ? Por ejemplo, X podría ser NP , PSPACE , EXPTIME .

complexity-theory proof-techniques

— Dave Clarke
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Claro que no es fácil y nadie puede proporcionar una respuesta para su parte general :-) Tengo demasiados problemas. Sé que son NP pero no sé si son NP-Completos o no (ni muchas otras personas).

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En realidad, probar que no es -completo (bajo, digamos, reducciones de tiempo polinomial) sería extremadamente difícil de hacer. $X$ $PSPACE$

Si , entonces todos los problemas no triviales (es decir, no y no ) e infinitos en son -completo bajo reducciones de tiempo polinomial. Dado que la teoría existencial de los reales tiene esta propiedad no trivial e infinita, probar que no es -completo implicaría $P=PSPACE$ $\varnothing$ $\Sigma^{\star}$ $PSPACE$ $PSPACE$ $PSPACE$ . (Consultela respuesta a esta pregunta en CSTheory.SEpara ver un boceto de la prueba). $P \neq PSPACE$

— Ryan Williams
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Ciertamente parece que mordí más de lo que puedo masticar, por así decirlo.

— Dave Clarke

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Un problema en no es completo si hay otros problemas en que no se pueden reducir a él. Un método sencillo (pero posiblemente sólo es eficaz en ejemplos triviales) estaría demostrando su problema es también de alguna otra clase de complejidad tal que . $X$ $X$ $X$ $Y$ $Y \subset X$

Por ejemplo, si desea mostrar que su problema no es completa, entonces es suficiente para mostrar que está en , ya que . Sin embargo, si se quería demostrar que no es un problema -Complete, entonces no es necesariamente suficiente para mostrar que está en , ya que no se sabe si o no . $EXPTIME$ $P$ $P \subsetneq EXPTIME$ $NP$ $P$ $P = NP$

— Joe
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Mire la respuesta aceptada para esta pregunta en MathOverflow, ¿Qué técnicas existen para mostrar que un problema no es NP completo? . Responde el caso cuando X = NP.

— Mohammad Al-Turkistany
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Como escribió Ryan, probar que un problema no es difícil no es fácil.

Sea un problema en una clase de complejidad y está cerrado wrt reducciones. Probar que no es -duro wrt es equivalente a separar la clase de complejidad obtenida al cerrar wrt . Ahora, si es difícil para otra clase wrt , entonces significa separar $Q$ $X$ $S$ $\leq$ $Q$ $X$ $\leq$ $Q$ $\leq$ $Q$ $Y$ $\leq$ $Y$ de . Como sabes, no hay muchos resultados de separación. $X$

En su caso, , , y $X = \mathsf{PSpace}$ $\leq = \leq^\mathsf{P}_m$ . $Y=\mathsf{P}$

Debido a que no podemos probar tales resultados en este momento (con la posible excepción de Ryan :), en lugar de probar que no es duro, mostramos que está en una clase de complejidad que se cree que es menor que . Por ejemplo, si muestra que está en , entonces se tomará como una fuerte evidencia de que no es $Q$ $X$ $X$ $\mathrm{Th}_\exists(\mathbb{R,+,\times,0,1})$ $\mathsf{PH}$ $Q$ $X$ -difícil. (En el lenguaje de los lógicos, si no puede probar un resultado incondicional, intente probar uno condicional suponiendo una declaración difícil de probar pero ampliamente creída como ). $\mathsf{P}\neq\mathsf{PSpace}$

— Kaveh
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