Si

Digamos, $L \subseteq \{0\}^*$ . Entonces, ¿cómo podemos demostrar que $L^*$ es regular?

Si $L$ es regular, entonces, por supuesto, $L^*$ también es regular. Si $L$ es finito, entonces es regular y nuevamente $L^*$ es regular. También he notado que, para $L = \{0^p \mid p \text{ is a prime}\}$ , $L$ no es regular, $L \subseteq \{0\}^*$ y $L^*$ es regular.

Pero, ¿cómo mostrar esto para cualquier subconjunto $L$ de $\{0\}^*$ ?

Supongamos que $L$ contiene dos palabras $w_1$ y $w_2$ de tal manera que las longitudes de estas palabras, $|w_1|$y $|w_2|$, no tienen factores en común. Entonces, tenemos que la palabra más larga que no se puede formar concatenando estas palabras tiene longitud $(|w_1|-1)(|w_2|-1) - 1$ ( número de Frobenius) Es decir, si hay palabras en el idioma cuyas longitudes no tienen un factor común, entonces todas las palabras de cierta longitud mínima están en el idioma $L^*$ . Es fácil ver que esto es regular ya que, necesariamente, hay un número finito de clases de equivalencia bajo la relación de indistinguibilidad de Myhill-Nerode.

¿Qué pasa si las longitudes de todas las palabras en comparten un factor común? Bueno, no es difícil ver que en tales casos, L ∗ también es regular. Simplemente tenga en cuenta que, en lugar de todas las palabras cuyas longitudes son mayores que una longitud mínima en L ∗ , será cierto que todas las palabras cuyas longitudes son múltiplos del MCD de longitudes de palabras estarán en L ∗ , y no hay palabras cuyas longitudes no son múltiplos de este GCD, y dado que ( L k ) ∗ es regular para cualquier entero k , L ∗ también es regular.$L$$L^*$$L^*$$L^*$$(L^k)^*$$k$$L^*$

Esto es bastante informal, pero todo lo que necesita para formalizar esto debería estar aquí.

$w$$L^*$$L$$\mathring{L}$$w$$\mathring{L}$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$$L^*$

Deje que sea un subconjunto de y una palabra en . puede expresarse como una concatenación de palabras en iffpuede ser expresada como una suma de elementos de , donde es el conjunto de longitudes de palabras en . Por lo tanto, el problema se reduce a expresar un número entero como una suma de números enteros en un conjunto particular (con repeticiones permitidas): canse expresará como con y ?$M$$L$$w$$L$$w$$L$$|w|$$S \subset \mathbb{N}$$S$$M$$|w|$$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, s_i \in S$$k_1 \in \mathbb{N}$

Este es un problema bien conocido en aritmética, y la respuesta es que si los coeficientes pueden ser negativos ( ),es expresable si y sólo si es un múltiplo del máximo común divisor de los elementos de : . Con un requerimiento de coeficientes no negativos, esto todavía es válido para.$(k_i)$$k_i \in \mathbb{Z}$$|w|$$S$$\gcd S$$|w|$

Considere la secuencia infinita definida por . Esta es una secuencia decreciente de enteros (comenzando con , por lo que es constante después de cierto índice ; y Según el teorema del resto chino, cada elemento de puede ser expresado como con y . Si y entonces puede elegir todos los coeficientes no negativos.$(g_i)_{i\ge\min S}$$g_i = \gcd (S \cap [0,i])$$g_{\min S} = \min S$$j$$g_j = \gcd S$$S$$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, k_i \in \mathbb{Z}$$\{s_1, \ldots, s_m\} = S \cup [0,j]$$x \in S$$x \ge s_1 \cdot \ldots \cdot s_m$

Suficiente aritmética. Deje . Cada palabra en puede expresarse como una concatenación de palabras en cuya longitud es como máximo , es decir, . Como también tenemos , tenemos , que es regular ya que es finito, por lo tanto, regular.$\mathring{L} = \{w \in L \mid |w| \le g_j\}$$L$$L$$g_j$$L \subseteq \mathring{L}^*$$\mathring{L} \subseteq L$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$

Alternativamente, use la caracterización de idiomas regulares en alfabetos de una letra .