Respuestas:
No se compara en absoluto: asar es el término estadounidense para lo que se llama asar a la parrilla en el Reino Unido. La fuente de calor está por encima de la comida.
En los Estados Unidos, una "parrilla" se usa para significar una "parrilla a gas", como dirían los británicos. La fuente de calor está debajo de la comida.