¿Por qué para reflejos perfectos una superficie debe tener continuidad G2?

¿Por qué para reflejos perfectos una superficie debe tener continuidad G2 (superficie de clase A)?

Me gustaría una respuesta matemática.

rendering

— Valerio
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Cualquier contexto? ¿O referencia donde has leído eso? Porque no tiene sentido para mí. Además, si no me equivoco, la continuidad de Gn se define solo para superficies polinomiales por partes, no hay razón para que una superficie sea polinómica y, en la práctica, la mayoría de las superficies son lineales por partes.

— Tom

G2 solo menciona la derivabilidad n geométrica, independientemente de cualquier parametrización.

— Fabrice NEYRET

@tom Él está hablando del diseño general de la superficie como en CAD. No, no necesitan ser polinomios, pero en la práctica a menudo lo son (a excepción de los arcos circulares y las cónicas)

— Joojaa

@joojaa Entonces todavía estoy confundido por qué el uso de notación especial Gn. En matemáticas hay una noción estándar de múltiple diferenciable Cn. Entonces, ¿son Gn y Cn iguales? Pensé que el colector Gn es un polinomio por partes, por lo que es un colector C-infty excepto en las costuras de parche.

— tom

@tom C continuidad es la continuidad paramétrica y G es la continuidad geonetrica y en este caso la continuidad sobre 2 geometrías separadas.

— joojaa

Respuestas:

Lo que ves en refleja es la n-continuidad de las normales, que son la derivada de las posiciones. -> una superficie solo G1 tendría un campo normal solo G0, es decir, con un cambio repentino de gradiente en las normales (y por lo tanto, los reflejos), que los ojos pueden notar. Las superficies G2 tienen campos normales G1, que son lo suficientemente suaves para sus ojos.

— Fabrice NEYRET
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G0 Continuidad significa que las superficies separadas se encuentran,
G1 Continuidad de que las superficies se encuentran en el mismo ángulo,
G2 Continuidad significa que el cambio en el ángulo coincide en el punto de contacto.

El requisito de G2 no significa que la superficie sea de buena calidad. Solo significa que sin esto la superficie no tendrá un flujo de reflexión continuo para que los humanos puedan ver la diferencia. Eso puede o no ser algo bueno depende de lo que quieras.

Matemáticamente la superficie normal es:

$f(u,v) \frac{\partial}{\partial u} \times f(u,v) \frac{\partial}{\partial v}$

Como ambos lados se derivan, eso significa que el campo de función de la superficie normal tiene un grado menos que la superficie original. Entonces, para que la reflexión sea continua de primer grado, debe tener una continuidad de segundo grado.

Hasta ahora hemos establecido la relación entre la continuidad de la superficie y la continuidad de la reflexión. Hasta ahora, nada prueba que la reflexión de la superficie deba ser continua en primer grado. Para entender por qué debemos salir del ámbito de las matemáticas y entrar en el ámbito de la biología.

El ojo está equipado con un algoritmo de detección de bordes en un nivel estructural justo en la retina. Este algoritmo de detección de bordes en esencia funciona como una derivada discreta de la señal de entrada. Entonces, si su superficie no es G2 continua, entonces la detección de bordes humanos se activa y se muestra. Para referencias, lea en Mach Bands, etc.

Dado que la detección de bordes es discreta, la continuidad de G2 no es suficiente. El cambio no solo debe satisfacerse localmente, sino también satisfacerse en la retina. Por lo tanto, el cambio aún debe ser lo suficientemente superficial como para no causar problemas.

— joojaa
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¿Qué significa "El cambio no solo debe satisfacerse localmente sino también satisfacerse en la retina"?

— Dan Hulme

El ojo no registra una señal continua. Es discreto, por lo que incluso si su superficie podría cumplir técnicamente la condición presentada en un nivel matemático. Puede que no sea suficiente si el espacio de muestra dicrete no ve el cambio. Por lo tanto, la pendiente aún debe ser lo suficientemente grande como para que el ojo humano lo note.

— Joojaa

Parece que estás diciendo que la derivada (de lo normal) no solo tiene que ser continua, sino que su derivada debe estar por debajo de algún límite. Si eso es lo que quieres decir, creo que el último párrafo de tu respuesta podría ser más claro.

— Dan Hulme

@DanHulme no es un límite del derivado, no es solo una cuestión de pendiente, sino el entrelazado de la pendiente. Entonces se trata de un muestreo discreto. Entonces, un ángulo muy agudo pero una pequeña diferencia en la pendiente puede parecer continuo. Del mismo modo, los cambios continuos bajo un corto entrepierna pueden parecer agudos. No se trata de matemáticas, sino de muestreo. Es difícil de cuantificar ya que es un sistema biológico.

— Joojaa