Mi intuición siempre ha sido que cuando se proyecta una esfera en el espacio 2D, el resultado siempre será matemáticamente una elipse (o un círculo en casos degenerados).

En el pasado, cuando estaba haciendo mi propia programación gráfica y mencioné esto con otras personas, insistían en que estaba equivocado. Si no recuerdo mal, creían que el resultado podría ser algo vagamente "en forma de huevo".

¿Quién estaba en lo correcto?

Como ya se envió una respuesta, no deseo cambiar totalmente mi pregunta, pero me doy cuenta de que omití detalles importantes debido a la pérdida de familiaridad con el campo a lo largo de los años.

Tenía la intención de preguntar específicamente sobre la proyección en perspectiva donde la proyección es una aplicación lineal .

Las otras proyecciones son, por supuesto, interesantes para muchos usos, por lo que no quisiera que se eliminen en este momento. Pero sería genial si las respuestas pudieran tener una proyección en perspectiva como su sección más destacada.

Suponiendo una proyección en perspectiva y un punto de vista externo a la esfera, entonces el 'límite' formado por el punto de vista y el círculo en la esfera que forma el horizonte WRT el punto de vista, será un cono.

Hacer una proyección en perspectiva (en un plano) es equivalente a intersectar este cono con el plano, lo que produce una sección cónica. Para su información, los cuatro casos no degenerados se muestran en esta imagen de Wikipedia

Por lo tanto, una elipse / círculo es una posibilidad, pero no la única: son posibles parábolas o hipérbolas ilimitadas (y supongo que si el avión pasa a través del ojo, incluso son posibles casos degenerados).

Esto es más como un largo comentario a la respuesta de @ SimonF que estoy tratando de hacer algo autónomo.

Todos los cortes de cono son posibles, hipérbola, parábola y óvalos. Esto es fácil de probar dibujando imágenes en un motor 3D con una cámara extremadamente gran angular. Gire la cámara para decir en un ángulo de 30 grados para que el objeto no esté en el centro de su enfoque. Luego, gradualmente acerque la cámara a la esfera.

Imagen 1: Volando muy cerca de una esfera mirando ligeramente de lado. Observe cómo perforamos repentinamente la forma de la superficie interior.

Entonces, para recapitular cuando la esfera está muy cerca y sale de la imagen en imagen panorámica, puede ser una parábola o una hipérbola. Pero la forma simplemente saldrá del marco para hacerlo.

Los sistemas de proyección se utilizan para convertir una forma 3D en una forma plana (2D).

Según el tipo de sistema de proyección, se pueden producir diferentes resultados y formas como rectángulos, pasteles, elipses, círculos, ... a partir de una esfera.

Los sistemas de proyección se pueden clasificar por las características del resultado que generan.

Para continuar, me gustaría utilizar un ejemplo muy fácil de tocar y común que todos hemos visto antes, la esfera de la Tierra y los mapas globales, están en todas partes.

¡Supongamos que tu esfera es la tierra!

Imagine la tierra como su esfera y un mapa mundial plano creado a partir de la forma esférica de la tierra. En la mayoría de los mapas del mundo, se ve que los países cercanos a los polos se están volviendo mucho más grandes de lo que son en realidad, como Islandia, que es 1/14 del continente africano en realidad, pero el mapa los muestra a ambos como iguales. Esto se debe a que cuando omitimos una dimensión, perdemos una característica de nuestras formas.

Diferentes sistemas de proyección y sus resultados.

Esta es una proyección plana que no conserva la distancia, los ángulos o el área. Los círculos rojos muestran la cantidad de exageración que es el producto de esta proyección.

Igualdad de área, mire Islandia y África en este y compárelo con el anterior.

Los sistemas de proyección se pueden clasificar por lo que conservan.

1. Área igual.
2. Ángulo igual que preserva la forma sin distorsión (conforme).
3. Igual distancia.
4. ......

Las proyecciones conformes conservan las formas, pero el área no se conservará (la primera imagen de arriba), este es el sistema de proyección más famoso que se utiliza en muchas aplicaciones. ¡Tu esfera es un rectángulo aquí!

Por lo tanto, no se puede decir que una esfera se proyectará siempre a una elipse. Como se mencionó anteriormente, una esfera se puede proyectar a un rectángulo (primera forma) o puede ser una elipse pero con diferentes características (ángulo igual, distancia, forma, área - vea la siguiente imagen), o también puede proyectar una esfera en una cónica y luego abra la cónica para que tenga un pastel.

Cada uno de los sistemas de proyección anteriores se puede aplicar con algoritmos iterativos o directos que se pueden encontrar en Internet. No hablé sobre la fórmula y las transformaciones porque no preguntaste. Aunque deseo que encuentre útil esta respuesta.

En proyecciones de perspectiva, digo que sí, solo se producirán elipses a partir de esferas

Cortar una cónica con un plano horizontal crea un círculo.

Cortar con un plano oblicuo crea un bisel que sería una elipse o una hipérbola dependiendo del ángulo de corte, y cuando este ángulo se inclina hacia adentro vertical creará una parábola (imagen siguiente).

Tal vez esto sea obvio, pero eche un vistazo a sus ecuaciones.

Por simplicidad, asumí que todas las geometrías están centradas en el origen.

Ecuaciones:

$x^2+y^2=r^2$

$x^2/a^2+y^2/b^2=1$

$x^2/a^2-y^2/b^2=1$

$y^2=4ax$

Morfología:

Una elipse tiene dos focos obviamente. Un círculo como un tipo especial de puntos suspensivos también tiene dos focos, pero son coincidentes. Sin embargo, una hipérbola es un espejo del eje de su elipsis igual y también tiene dos focos. Una parábola tiene un foco, pero en realidad tiene dos porque el segundo está en el infinito: cuando el plano de corte se inclina a 90 grados (ángulo de orientación), el segundo foco va al infinito.

Conclusión

Como ves, todas son elipses, sin embargo, puedes nombrarlas de manera diferente para describir casos especiales, pero si vas a implementarlo en un juego, debes asumir una ecuación de elipse y es suficiente. No puedo decir cuál de ustedes tiene razón, usted o su amigo, porque ambos podrían estar en lo cierto.

El razonamiento de SimonF básicamente me convenció, pero decidí hacer un control de cordura. Cargué un nivel UE4 que tiene algunas esferas, como esta:

Configuré el FOV de la cámara hasta 160 grados para dar mucha distorsión de perspectiva, y lo coloqué de modo que la esfera estuviera cerca de la esquina de la imagen:

Luego llevé esto a Inkscape y usé la herramienta de elipse para dibujar en él:

¡Sorpresa! ¡Es un ajuste perfecto!

No hay parábolas o hipérbolas formadas cuando se corta una esfera una vez. Tampoco hay elipses, excepto el caso especial que es un círculo. El resultado es siempre un círculo. Si proyecta la esfera en un plano inclinado, obtiene una elipse