Introducción a la matemática numérica
Este es el "¡Hola Mundo!" de PDE (ecuaciones diferenciales parciales). La ecuación de Laplace o difusión aparece a menudo en física, por ejemplo, ecuación de calor, deformación, dinámica de fluidos, etc. Como la vida real es 3D, pero queremos decir "¡Hola, mundo!" y no cantar "99 botellas de cerveza, ..." esta tarea se da en 1D. Puede interpretar esto como una túnica de goma atada a una pared en ambos extremos con cierta fuerza aplicada.
En un [0,1]dominio, encuentre una función upara la función fuente dada fy los valores límite u_Ly u_Rtal que:
-u'' = fu(0) = u_Lu(1) = u_R
u'' denota la segunda derivada de u
Esto puede resolverse puramente teórico, pero su tarea es resolverlo numéricamente en un dominio discretizado x para Npuntos:
- x =
{i/(N-1) | i=0..N-1}o basado en 1:{(i-1)/(N-1) | i=1..N} h = 1/(N-1)es el espacio
Entrada
fcomo función o expresión o cadenau_L,u_Rcomo valores de coma flotanteNcomo entero> = 2
Salida
- Matriz, Lista, algún tipo de cadena separada de
utal manera queu_i == u(x_i)
Ejemplos
Ejemplo 1
Entrada: f = -2, u_L = u_R = 0, N = 10(no tome f=-2mal, no es un valor, sino una función constante que los retornos -2para todos xEs como una fuerza de la gravedad constante en nuestra cuerda.).
Salida: [-0.0, -0.09876543209876543, -0.1728395061728395, -0.22222222222222224, -0.24691358024691357, -0.24691358024691357, -0.22222222222222224, -0.1728395061728395, -0.09876543209876547, -0.0]
Existe una solución exacta fácil: u = -x*(1-x)
Ejemplo 2
Entrada: f = 10*x, u_L = 0 u_R = 1, N = 15(Aquí hay una gran cantidad de viento arriba a la derecha)
Salida: [ 0., 0.1898688, 0.37609329, 0.55502915, 0.72303207, 0.87645773, 1.01166181, 1.125, 1.21282799, 1.27150146, 1.29737609, 1.28680758, 1.2361516, 1.14176385, 1.]
La solución exacta para esto dice: u = 1/3*(8*x-5*x^3)
Ejemplo 3
Entrada: f = sin(2*pi*x), u_L = u_R = 1, N = 20(Alguien rompió la gravedad o hay una especie de arriba y la dirección del viento)
Salida: [ 1., 1.0083001, 1.01570075, 1.02139999, 1.0247802, 1.0254751, 1.02340937, 1.01880687, 1.01216636, 1.00420743, 0.99579257, 0.98783364, 0.98119313, 0.97659063, 0.9745249, 0.9752198, 0.97860001, 0.98429925, 0.9916999, 1.]
Aquí la solución exacta es u = (sin(2*π*x))/(4*π^2)+1
Ejemplo 4
Entrada: f = exp(x^2), u_L = u_R = 0,N=30
Salida:
[ 0. 0.02021032 0.03923016 0.05705528 0.07367854 0.0890899
0.10327633 0.11622169 0.12790665 0.13830853 0.14740113 0.15515453
0.16153488 0.1665041 0.17001962 0.172034 0.17249459 0.17134303
0.16851482 0.1639387 0.15753606 0.1492202 0.13889553 0.12645668
0.11178744 0.09475961 0.07523169 0.05304738 0.02803389 0. ]
Tenga en cuenta la ligera asimetría
FDM
Un posible método para resolver esto es el método de diferencia finita :
- reescribir
-u_i'' = f_icomo (-u_{i-1} + 2u_i - u{i+1})/h² = f_ique es igual-u_{i-1} + 2u_i - u{i+1} = h²f_i- Configura las ecuaciones:
- Que son iguales a una ecuación matriz-vector:
- Resuelve esta ecuación y genera el
u_i
Una implementación de esto para demostración en Python:
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def laplace(f, uL, uR, N):
h = 1./(N-1)
x = [i*h for i in range(N)]
A = np.zeros((N,N))
b = np.zeros((N,))
A[0,0] = 1
b[0] = uL
for i in range(1,N-1):
A[i,i-1] = -1
A[i,i] = 2
A[i,i+1] = -1
b[i] = h**2*f(x[i])
A[N-1,N-1] = 1
b[N-1] = uR
u = np.linalg.solve(A,b)
plt.plot(x,u,'*-')
plt.show()
return u
print laplace(lambda x:-2, 0, 0, 10)
print laplace(lambda x:10*x, 0, 1, 15)
print laplace(lambda x:np.sin(2*np.pi*x), 1, 1, 20)
Implementación alternativa sin Matrix Algebra (usando el método Jacobi )
def laplace(f, uL, uR, N):
h=1./(N-1)
b=[f(i*h)*h*h for i in range(N)]
b[0],b[-1]=uL,uR
u = [0]*N
def residual():
return np.sqrt(sum(r*r for r in[b[i] + u[i-1] - 2*u[i] + u[i+1] for i in range(1,N-1)]))
def jacobi():
return [uL] + [0.5*(b[i] + u[i-1] + u[i+1]) for i in range(1,N-1)] + [uR]
while residual() > 1e-6:
u = jacobi()
return u
Sin embargo, puede usar cualquier otro método para resolver la ecuación de Laplace. Si usa un método iterativo, debe iterar hasta el residual |b-Au|<1e-6, bsiendo el vector del lado derechou_L,f_1h²,f_2h²,...
Notas
Dependiendo de su método de solución, es posible que no resuelva los ejemplos exactamente para las soluciones dadas. Al menos para N->infinityel error debe acercarse a cero.
Las lagunas estándar no están permitidas , se permiten incorporaciones para PDE.
Prima
Una bonificación de -30% para mostrar la solución, ya sea gráfica o ASCII-art.
Victorioso
¡Esto es codegolf, por lo que gana el código más corto en bytes!
log(log(x))o sqrt(1-x^4)que tienen una integral, que sin embargo no se puede expresar en funciones elementales.
u(x) = 1/2 (-sqrt(π) x erfi(x)+sqrt(π) erfi(1) x+e^(x^2)-e x+x-1)no es exactamente calculable.
f(x) = exp(x^2).