Este desafío es en parte un desafío de algoritmos, en parte un desafío de optimización y en parte simplemente un desafío de código más rápido.

La matriz AT está completamente especificada por su primera fila ry primera columna c. Cada elemento restante de la matriz es solo una copia del elemento que está diagonalmente hacia arriba y hacia la izquierda. Es decir M[i,j] = M[i-1,j-1]. Permitiremos matrices T que no sean cuadradas. Sin embargo, siempre suponemos que el número de filas no es mayor que el número de columnas. Por ejemplo, considere la siguiente matriz T 3 por 5.

10111
11011
11101

Decimos que una matriz tiene la propiedad X si contiene dos conjuntos de columnas no vacías con índices no idénticos que tienen la misma suma (vector). La suma vectorial de una o más columnas es simplemente una suma de elementos de sus columnas. Esa es la suma de dos o más columnas que contienen xelementos, cada una es otra columna que contiene xelementos. La suma de una columna es trivialmente la columna misma.

La matriz anterior trivialmente tiene la propiedad X ya que la primera y la última columna son las mismas. La matriz de identidad nunca tiene la propiedad X.

Si solo eliminamos la última columna de la matriz anterior, obtenemos un ejemplo que no tiene la propiedad X y daría una puntuación de 4/3.

1011
1101
1110

La tarea

La tarea es escribir código para encontrar la matriz T de mayor puntuación con entradas binarias y que no tiene la propiedad X. Para mayor claridad, una matriz con entradas binarias tiene la propiedad de que cada una de sus entradas es 0 o 1.

Puntuación

Su puntaje será el número de columnas dividido por el número de filas en su mejor matriz de puntaje.

Desempate

Si dos respuestas tienen el mismo puntaje, gana la que presentó primero.

En el caso (muy) improbable de que alguien encuentre un método para obtener puntajes ilimitados, se aceptará la primera prueba válida de tal solución. En el caso aún más improbable de que pueda encontrar una prueba de la optimización de una matriz finita, por supuesto, también otorgaré la victoria.

Insinuación

Todas las respuestas en Buscar matriz de puntuación más alta sin propiedad X son válidas aquí, pero no son óptimas. Hay matrices T sin propiedad X que no son cíclicas.

Por ejemplo, hay una matriz T de 7 por 12 sin propiedad X, pero no existe dicha matriz cíclica.

El 21/11 superaría todas las respuestas actuales de este y el desafío anterior.

Idiomas y bibliotecas

Puede usar cualquier idioma que tenga un compilador / intérprete / etc. para Linux y cualquier biblioteca que también esté disponible gratuitamente para Linux.

Bonificación La primera respuesta con una puntuación superior a 2 obtiene un premio de recompensa inmediato de 200 puntos . ¡Ton Hospel ahora ha logrado esto!

Tabla de líderes actual

• C ++ . Puntuación 31/15 por Ton Hospel
• Java . Puntuación 36/19 por Peter Taylor
• Haskell . Puntuación 14/8 por alexander-brett

C ++, puntaje 23/12 25/13 27/14 28/14 31/15

Finalmente un resultado con relación> 2:

rows=15,cols=31
1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 
1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 
1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 
1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 
1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 
0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 
1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 
0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 
0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 
0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 
1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 
0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 
0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 
1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 

Exploré por completo de 1 a 14 filas. 15 tomaría demasiado tiempo para explorar por completo. Los resultados son:

1/1   = 1
2/2   = 1
4/3   = 1.333
5/4   = 1.25
7/5   = 1.4
9/6   = 1.5
12/7  = 1.714
14/8  = 1.75
16/9  = 1.778
18/10 = 1.8
20/11 = 1.818
23/12 = 1.917
25/13 = 1.923
28/14 = 2

El código que figura a continuación es una versión anterior del programa. La versión más reciente está en https://github.com/thospel/personal-propertyX .

/*
  Compile using something like:
    g++ -Wall -O3 -march=native -fstrict-aliasing -std=c++11 -g propertyX.cpp -lpthread -o propertyX
*/
#include <cstdint>
#include <climits>
#include <ctgmath>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <array>
#include <chrono>
#include <mutex>
#include <atomic>
#include <thread>

using namespace std;

const int ELEMENTS = 2;

using uint    = unsigned int;
using Element = uint64_t;
using Column  = array<Element, ELEMENTS>;
using Set     = vector<Column>;
using Sum     = uint8_t;
using Index   = uint32_t;
using sec = chrono::seconds;

int const PERIOD = 5*60;
int const MAX_ROWS = 54;
int const COL_FACTOR = (MAX_ROWS+1) | 1;                // 55
int const ROW_ZERO   = COL_FACTOR/2;                    // 27
int const ROWS_PER_ELEMENT = CHAR_BIT * sizeof(Element) / log2(COL_FACTOR); //11
Element constexpr ELEMENT_FILL(Element v = ROW_ZERO, int n = ROWS_PER_ELEMENT) {
    return n ? ELEMENT_FILL(v, n-1) * COL_FACTOR + v : 0;
}
Element constexpr POWN(Element v, int n) {
    return n ? POWN(v, n-1)*v : 1;
}
Element const ELEMENT_TOP = POWN(COL_FACTOR, ROWS_PER_ELEMENT -1);
int const MAX_COLS = ROWS_PER_ELEMENT * ELEMENTS;       // 22

atomic<Index> col_next;
atomic<uint>  period;
chrono::steady_clock::time_point start;
mutex period_mutex;

uint ratio_row;
uint ratio_col;
mutex ratio_mutex;

auto const nr_threads = thread::hardware_concurrency();
// auto const nr_threads = 1;

struct State {
    State(uint cols);
    void process(Index i);
    void extend(uint row);
    void print(uint rows);
    Index nr_columns() const { return static_cast<Index>(1) << cols_; }

    Column last_;
    Element top_;
    int top_offset_;
    uint ratio_row_ = 0;
    uint ratio_col_ = 1;
    uint cols_;
    array<Sum, MAX_ROWS + MAX_COLS -1> side;
    vector<Set> sets;
};

ostream& operator<<(ostream& os, Column const& column) {
    for (int i=0; i<ELEMENTS; ++i) {
        auto v = column[i];
        for (int j=0; j<ROWS_PER_ELEMENT; ++j) {
            auto bit = v / ELEMENT_TOP;
            cout << " " << bit;
            v -= bit * ELEMENT_TOP;
            v *= COL_FACTOR;
        }
    }
    return os;
}

State::State(uint cols) : cols_{cols} {
    sets.resize(MAX_ROWS+2);
    for (int i=0; i<2; ++i) {
        sets[i].resize(2);
        for (int j=0; j < ELEMENTS; ++j) {
            sets[i][0][j] =  ELEMENT_FILL();
            sets[i][1][j] =  static_cast<Element>(-1) - ELEMENT_FILL(1);
        }
    }
    top_ = POWN(COL_FACTOR, (cols_-1) % ROWS_PER_ELEMENT);
    top_offset_ = ELEMENTS - 1 - (cols_-1) / ROWS_PER_ELEMENT;
}

void State::print(uint rows) {
    for (auto c=0U; c<cols_;c++) {
        for (auto r=0U; r<rows;r++) {
            cout << static_cast<int>(side[cols_-c+r-1]) << " ";
        }
        cout << "\n";
    }
    cout << "----------" << endl;
}

void check(uint cols, uint t) {
    State state(cols);

    Index nr_columns = state.nr_columns();
    while (1) {
        Index col = col_next++;
        if (col >= nr_columns) break;
        state.process(col);

        auto now = chrono::steady_clock::now();
        auto elapsed = chrono::duration_cast<sec>(now-start).count();
        if (elapsed >= period) {
            lock_guard<mutex> lock{period_mutex};
            if (elapsed >= period) {
                cout << "col=" << col << "/" << nr_columns << " (" << 100.*col/nr_columns << "% " << elapsed << " s)" << endl;
                period = (elapsed/PERIOD+1)*PERIOD;
            }
        }
    }
}

void State::process(Index col) {
    last_.fill(0);
    for (uint i=0; i<cols_; ++i) {
        Element bit = col >> i & 1;
        side[i] = bit;
        Element carry = 0;
        for (int j=0; j<ELEMENTS; ++j) {
            auto c = last_[j] % COL_FACTOR;
            last_[j] = last_[j] / COL_FACTOR + carry * ELEMENT_TOP;
            if (j == top_offset_ && bit) last_[j] += top_;
            carry = c;
        }
    }
    // cout << "col=" << col << ", value=" << last_ << "\n";
    extend(0);
}

void State::extend(uint row) {
    // cout << "Extend row " << row << " " << static_cast<int>(side[cols_+row-1]) << "\n";
    if (row >= MAX_ROWS) throw(range_error("row out of range"));

    // Execute subset sum. The new column is added to set {from} giving {to}
    // {sum} is the other set.
    auto const& set_from = sets[row];
    auto const& set_sum  = sets[row + 1];
    auto      & set_to   = sets[row + 2];
    if (set_to.size() == 0) {
        auto size = 3 * set_from.size() - 2;
        set_to.resize(size);
        for (int j=0; j<ELEMENTS; ++j)
            set_to[size-1][j] = static_cast<Element>(-1) - ELEMENT_FILL(1);
    }

    // Merge sort {set_from - last_} , {set_from} and {set_from + last_}
    auto ptr_sum    = &set_sum[1][0];
    auto ptr_low    = &set_from[0][0];
    auto ptr_middle = &set_from[0][0];
    auto ptr_high   = &set_from[0][0];
    Column col_low, col_high;
    for (int j=0; j<ELEMENTS; ++j) {
        col_low   [j] = *ptr_low++  - last_[j];
        col_high  [j] = *ptr_high++ + last_[j];
    }

    auto ptr_end = &set_to[set_to.size()-1][0];
    auto ptr_to  = &set_to[0][0];
    while (ptr_to < ptr_end) {
        for (int j=0; j<ELEMENTS; ++j) {
            if (col_low[j] < ptr_middle[j]) goto LOW;
            if (col_low[j] > ptr_middle[j]) goto MIDDLE;
        }
        // low == middle
        // cout << "low == middle\n";
        return;

      LOW:
        // cout << "LOW\n";
        for (int j=0; j<ELEMENTS; ++j) {
            if (col_low[j] < col_high[j]) goto LOW0;
            if (col_low[j] > col_high[j]) goto HIGH0;
        }
        // low == high
        // cout << "low == high\n";
        return;

      MIDDLE:
        // cout << "MIDDLE\n";
        for (int j=0; j<ELEMENTS; ++j) {
            if (ptr_middle[j] < col_high[j]) goto MIDDLE0;
            if (ptr_middle[j] > col_high[j]) goto HIGH0;
        }
        // middle == high
        // cout << "middle == high\n";
        return;

      LOW0:
        // cout << "LOW0\n";
        for (int j=0; j<ELEMENTS; ++j) {
            *ptr_to++  = col_low[j];
            col_low[j] = *ptr_low++ - last_[j];
        }
        goto SUM;

      MIDDLE0:
        // cout << "MIDDLE0\n";
        for (int j=0; j<ELEMENTS; ++j)
            *ptr_to++ = *ptr_middle++;
        goto SUM;

      HIGH0:
        // cout << "HIGH0\n";
        for (int j=0; j<ELEMENTS; ++j) {
            *ptr_to++ = col_high[j];
            col_high[j] = *ptr_high++ + last_[j];
        }
        goto SUM;
      SUM:
        for (int j=-ELEMENTS; j<0; ++j) {
            if (ptr_to[j] > ptr_sum[j]) {
                ptr_sum += ELEMENTS;
                goto SUM;
            }
            if (ptr_to[j] < ptr_sum[j]) goto DONE;
        }
        // sum == to
        for (int j=-ELEMENTS; j<0; ++j)
            if (ptr_to[j] != ELEMENT_FILL()) {
                // sum == to and to != 0
                // cout << "sum == to\n";
                // cout << set_sum[(ptr_sum - &set_sum[0][0])/ELEMENTS-1] << "\n";
                return;
            }
      DONE:;
    }
    // cout << "Wee\n";
    auto row1 = row+1;
    if (0)
        for (uint i=0; i<row1+2; ++i) {
            cout << "Set " << i << "\n";
            auto& set = sets[i];
            for (auto& column: set)
                cout << column << "\n";
        }

    if (row1 * ratio_col_ > ratio_row_ * cols_) {
        ratio_row_ = row1;
        ratio_col_ = cols_;
        lock_guard<mutex> lock{ratio_mutex};

        if (ratio_row_ * ratio_col > ratio_row * ratio_col_) {

            auto now = chrono::steady_clock::now();
            auto elapsed = chrono::duration_cast<sec>(now-start).count();
            cout << "cols=" << cols_ << ",rows=" << row1 << " (" << elapsed << " s)\n";
            print(row1);
            ratio_row = ratio_row_;
            ratio_col = ratio_col_;
        }
    }

    auto last = last_;

    Element carry = 0;
    for (int j=0; j<ELEMENTS; ++j) {
        auto c = last_[j] % COL_FACTOR;
        last_[j] = last_[j] / COL_FACTOR + carry * ELEMENT_TOP;
        carry = c;
    }

    side[cols_+row] = 0;
    extend(row1);

    last_[top_offset_] += top_;
    side[cols_+row] = 1;
    extend(row1);

    last_ = last;
}

void my_main(int argc, char** argv) {
    if (!col_next.is_lock_free()) cout << "col_next is not lock free\n";
    if (!period.  is_lock_free()) cout << "period is not lock free\n";

    int min_col = 2;
    int max_col = MAX_COLS;
    if (argc > 1) {
        min_col = atoi(argv[1]);
        if (min_col < 2)
            throw(range_error("Column must be >= 2"));
        if (min_col > MAX_COLS)
            throw(range_error("Column must be <= " + to_string(MAX_COLS)));
    }
    if (argc > 2) {
        max_col = atoi(argv[2]);
        if (max_col < min_col)
            throw(range_error("Column must be >= " + to_string(min_col)));
        if (max_col > MAX_COLS)
            throw(range_error("Column must be <= " + to_string(MAX_COLS)));
    }

    for (int cols = min_col; cols <= max_col; ++cols) {
        cout << "Trying " << cols << " columns" << endl;
        ratio_row = 0;
        ratio_col = 1;
        col_next = 0;
        period = PERIOD;
        start = chrono::steady_clock::now();
        vector<thread> threads;
        for (auto t = 1U; t < nr_threads; t++)
            threads.emplace_back(check, cols, t);
        check(cols, 0);
        for (auto& thread: threads)
            thread.join();
    }
}

int main(int argc, char** argv) {
    try {
        my_main(argc, argv);
    } catch(exception& e) {
        cerr << "Error: " << e.what() << endl;
        exit(EXIT_FAILURE);
    }
    exit(EXIT_SUCCESS);
}

Haskell 14/8 = 1.75

1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0
1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0
0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1
1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1
0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1
0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0

Anteriormente 9/6 = 1.5

1 0 1 0 1 1 0 0 1
1 1 0 1 0 1 1 0 0
1 1 1 0 1 0 1 1 0
1 1 1 1 0 1 0 1 1
1 1 1 1 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1 0 1 0

Escribí esto, luego miré las respuestas a la otra pregunta y me ... desanimé.

import Data.List
import Data.Hashable
import Control.Monad
import Control.Parallel.Strategies
import Control.Parallel
import qualified Data.HashSet as S

matrix§indices = [ matrix!!i | i<-indices ]

powerset :: [a] -> [[a]]
powerset = filterM (const [True, False])

hashNub :: (Hashable a, Eq a) => [a] -> [a]
hashNub l = go S.empty l
    where
      go _ []     = []
      go s (x:xs) = if x `S.member` s
        then go s xs
        else x : go (S.insert x s) xs

getMatrix :: Int -> Int -> [Int] -> [[Int]]
getMatrix width height vector = [ vector § [x..x+width-1] | x<-[0..height-1] ]

hasDuplicate :: (Hashable a, Eq a) => [a] -> Bool
hasDuplicate m = go S.empty m
    where
        go _ [] = False
        go s (x:xs) = if x `S.member` s
            then True
            else go (S.insert x s) xs

hasProperty :: [[Int]] -> Bool
hasProperty matrix =
    let
        base = replicate (length (matrix !! 0)) 0::[Int]
    in
        if elem base matrix then
            False
        else
            if hasDuplicate matrix then
                False
            else
                if hasDuplicate (map (foldl (zipWith (+)) base) (powerset matrix)) then
                    False
                else
                    True


pmap = parMap rseq

matricesWithProperty :: Int -> Int -> [[[Int]]]
matricesWithProperty n m =
    let
        base = replicate n 0::[Int]
    in
    filter (hasProperty) $
    map (getMatrix n m) $
    sequence [ [0,1] | x<-[0..n+m-1] ]

firstMatrixWithProperty :: Int -> Int -> [[Int]]
firstMatrixWithProperty n m = head $ matricesWithProperty n m

main = mapM (putStrLn. show) $ map (firstMatrixWithProperty 8) [1..]

C

Aquí hay una respuesta que funciona y es significativamente más eficiente en memoria que Haskell. Desafortunadamente, mi computadora aún es demasiado lenta para alcanzar un rendimiento superior a 14/8 en un período de tiempo razonable.

Intente compilar gcc -std=c99 -O2 -fopenmp -o matrices.exe matrices.cy ejecutar con matrices.exe width heighto similar. La salida es un número entero, cuyos bits forman la base de la matriz en cuestión, por ejemplo:

$ matrices.exe 8 14
...
valid i: 1650223

Entonces, desde entonces 1650223 = 0b110010010111000101111, la matriz en cuestión es:

0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1
0 ...
1 ...
0
1
1
1
1

Si alguien con 8 núcleos y tiempo en sus manos quiere ejecutar esto por un tiempo, creo que podrían resultar algunas cosas buenas :)

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <unistd.h>

/*
 * BEGIN WIKIPEDIA CODE
 */
const long long m1  = 0x5555555555555555; //binary: 0101...
const long long m2  = 0x3333333333333333; //binary: 00110011..
const long long m4  = 0x0f0f0f0f0f0f0f0f; //binary:  4 zeros,  4 ones ...
const long long m8  = 0x00ff00ff00ff00ff; //binary:  8 zeros,  8 ones ...
const long long m16 = 0x0000ffff0000ffff; //binary: 16 zeros, 16 ones ...
const long long m32 = 0x00000000ffffffff; //binary: 32 zeros, 32 ones
const long long hff = 0xffffffffffffffff; //binary: all ones
const long long h01 = 0x0101010101010101; //the sum of 256 to the power of 0,1,2,3...
//This uses fewer arithmetic operations than any other known
//implementation on machines with fast multiplication.
//It uses 12 arithmetic operations, one of which is a multiply.
long long hamming(long long x) {
    x -= (x >> 1) & m1;             //put count of each 2 bits into those 2 bits
    x = (x & m2) + ((x >> 2) & m2); //put count of each 4 bits into those 4 bits
    x = (x + (x >> 4)) & m4;        //put count of each 8 bits into those 8 bits
    return (x * h01)>>56;  //returns left 8 bits of x + (x<<8) + (x<<16) + (x<<24) + ...
}
/*
 * END WIKIPEDIA CODE
 */

int main ( int argc, char *argv[] ) {
    int height;
    int width;

    sscanf(argv[1], "%d", &height);
    sscanf(argv[2], "%d", &width);

    #pragma omp parallel for
    for (
        /*
         * We know that there are 2^(h+w-1) T-matrices, defined by the entries
         * in the first row and first column. We'll let the long long i
         * represent these entries, with 1s represented by set bits.
         *
         * The first (0) and last (1) matrix we will ignore.
         */
        long long i = 1;
        i < (1 << (height+width-1))-1;
        i++
    ) {
        // Flag for keeping track as we go along.
        int isvalid = 1;

        /*
         * Start by representing the matrix as an array of columns, with each
         * non-zero matrix entry as a bit. This allows us to construct them and
         * check equality very quickly.
         */
        long *cols = malloc(sizeof(long)*width);
        long colmask = (1 << height)-1;
        for (int j = 0; j < width; j++) {
            cols[j] = (i >> j) & colmask;
            if (cols[j] == 0) {
                //check no zero rows
                isvalid = 0;
            } else {
                //check no duplicate rows
                for (int k = 0; k < j; k++) {
                    if (cols[j] == cols[k]) {
                        isvalid = 0;
                    }
                }
            }
        }

        if (isvalid == 1) {
            /*
             * We'll also represent the matrix as an array of rows, in a
             * similar manner.
             */
            long *rows = malloc(sizeof(long)*height);
            long rowmask = (1 << width)-1;
            for (int j = 0; j < height; j++) {
                rows[j] = (i >> j) & rowmask;
            }

            int *sums[(1 << width)];
            for (long j = 0; j < 1<<width; j++) {
                sums[j] = (int*)malloc(sizeof(int)*height);
            }

            for (
                /*
                 * The powerset of columns has size 2^width. Again with the
                 * long; this time each bit represents whether the
                 * corresponding row is a member of the subset. The nice thing
                 * about this is we can xor the permutation with each row,
                 * then take the hamming number of the resulting number to get
                 * the sum.
                 */
                long permutation = 1;
                (isvalid == 1) && (permutation < (1 << width)-1);
                permutation ++
            ) {
                for (int j = 0; j < height; j++) {
                    sums[permutation][j] = hamming( rows[j] & permutation);
                }
                for (int j = permutation-1; (isvalid == 1) && (j > -1); j--) {
                    if (memcmp(sums[j], sums[permutation], sizeof(int)*height) == 0) {
                        isvalid = 0;
                    }
                }
            }

            for (long j = 0; j < 1<<width; j++) {
                free(sums[j]);
            }

            free(rows);

        }

        if (isvalid == 1) {
            printf ("valid i: %ld\n", i);
        }

        free(cols);
    }

    return 0;
}