Reglas

Se comenzará con sólo dos elementos: Puntos y tal que . Estos puntos ocupan un plano que es infinito en todas las direcciones.$A$$B$$A \neq B$

En cualquier paso del proceso, puede realizar cualquiera de las tres acciones siguientes:

1. Dibuja una línea que pase por dos puntos.

2. Dibuje un círculo centrado en un punto de manera que otro punto se encuentre en el círculo.

3. Agregue un nuevo punto donde se cruzan dos objetos (líneas y círculos).

Su objetivo es crear 5 puntos de manera que formen los vértices de un pentágono regular (un polígono convexo con 5 lados de igual longitud) usando la menor cantidad de círculos posible. Por supuesto, puede tener otros puntos, pero 5 de ellos deben ser para un pentágono regular. No tiene que dibujar los bordes del pentágono para su puntuación.

Tanteo

Al comparar dos respuestas, la que dibuja menos círculos es mejor. En el caso de un empate en círculos, la respuesta que dibuja la menor cantidad de líneas es mejor. En el caso de un empate en ambos círculos y líneas, la respuesta que agrega la menor cantidad de puntos es mejor.

Anti-Reglas

Si bien la lista de reglas es exhaustiva y detalla todo lo que puede hacer, esta lista no lo es, solo porque no diga que no puede hacer algo no significa que pueda hacerlo.

• No puede crear objetos "arbitrarios". Algunas construcciones que encontrará harán pensar como agregar un punto en una ubicación "arbitraria" y trabajar desde allí. No puede agregar nuevos puntos en ubicaciones que no sean intersecciones.

• No puedes copiar un radio. Algunas construcciones implicarán tomar una brújula estableciéndola en un radio entre dos puntos y luego levantarla y dibujar un círculo en otra parte. No puedes hacer esto.

• No puede realizar procesos limitantes. Todas las construcciones deben tomar un número finito de pasos. No es lo suficientemente bueno para abordar la respuesta asintóticamente.

• No puede dibujar un arco o parte de un círculo para evitar contarlo como un círculo en su puntuación. Si desea utilizar arcos visualmente al mostrar o explicar su respuesta porque ocupan menos espacio, continúe, pero cuentan como un círculo para la puntuación.

Herramientas

Puedes pensar en el problema en GeoGebra . Simplemente ve a la pestaña de formas. Las tres reglas son equivalentes al punto, la línea y el círculo con las herramientas centrales.

Carga de la prueba

Esto es estándar pero me gustaría reiterarlo. Si hay una pregunta sobre si una respuesta particular es válida, la carga de la prueba recae en el respondedor para demostrar que su respuesta es válida en lugar de que el público demuestre que la respuesta no lo es.

¿Qué está haciendo esto en mi sitio de Code-Golf?

Esta es una forma de golf de código atómico similar al golf de prueba, aunque en un lenguaje de programación un poco extraño. Actualmente hay un consenso de + 22 / -0 sobre el meta de que este tipo de cosas está permitido.

2 círculos, 13 líneas, 17 puntos

Pruébalo en GeoGebra

• Deje que el círculo (A, B) se cruce con el círculo (B, A) en C y D.
• Deje que AB cruce el círculo (A, B) nuevamente en E.
• Deje que AB cruce el círculo (B, A) nuevamente en F.
• Deje que AD intersecte el círculo (A, B) nuevamente en G.
• Deje que AD se cruce con CF en H.
• Deje BG intersecar DF ​​en I.
• Deje que HI cruce el círculo (A, B) en J y K.
• Deje BG intersecar EJ en L.
• Deje que BJ se cruce con EG en M.
• Deje BG intersecar EK en N.
• Deje que BK se cruce con EG en O.
• Deje que LM cruce el círculo (A, B) en P y S.
• Deje que NO cruce el círculo (A, B) en Q y R.

Entonces EPQRS es un pentágono regular.

Por que funciona

Deje que BE intersecte a GJ en T, y deje que BE intersecte a GK en U. El cuadrilátero completo BEGJ muestra que T es el polar de LM, que es la intersección de las tangentes en P y S. De manera similar, el cuadrilátero completo BEGK muestra que U es el polar de NO, que es la intersección de las tangentes en Q y R.

Deje que FG intersecte HI en V. Las diagonales DV y GI del cuadrilátero completo DGVI intersecan FH en conjugados armónicos con respecto a F y H; Como el primero está en ∞, el segundo es el punto medio C de FH, lo que significa que C, D, V son colineales.

Deje que CG se cruce con HI en W.

Ahora viene la parte divertida. La línea FUBAT es una perspectiva sobre G a la línea VKIHJ, que es una perspectiva sobre D para rodear a CKDGJ, que es una perspectiva sobre C a la línea HKVWJ, que es una perspectiva sobre G a la línea AUF∞T. Al componer estas cuatro perspecitividades se obtiene una proyectividad FUBAT ⌅ AUF∞T. Dado que una proyectividad unidimensional está determinada por tres puntos, T y U se determinan como los dos puntos fijos de FBA ⌅ AF∞.

Asignando coordenadas con A = 0, B = −1, F = −2, esta proyectividad se define por x ↦ 4 / x + 2, y sus puntos fijos T = 1 + √5 = seg (2π / 5) y U = 1 - √5 = −seg (2π / 10), exactamente como se requiere para hacer EPQRS un pentágono regular.

7 6 círculos, 3 líneas

Esta es una construcción clásica del pentágono, una prueba de su corrección se puede encontrar aquí .

4 círculos, 7 líneas

Como ha sido superado, pensé que simplemente publicaría mi solución original al problema. Esta solución se modifica del método dado por Dixon en Mathographics , una prueba de corrección para ese método se puede encontrar aquí .

• $\mathrm{Circle}(A,B)$
• $\overline{AB}$
• $\mathrm{Circle}(A,B)$$\overline{AB}$$C$
• $\mathrm{Circle}(B,C)$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\mathrm{Circle}(B,C)$$D$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\overline{AB}$$E$
• $\overline{DC}$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\overline{DC}$$F$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\mathrm{Circle}(B,C)$$G$
• $\overline{BG}$
• $\overline{BG}$$\overline{EF}$$H$
• $\overline{HC}$
• $\overline{HC}$$\mathrm{Circle}(C,B)$$I$
• $\overline{IA}$
• $\overline{IA}$$\mathrm{Circle}(A,B)$$J$
• $\mathrm{Cirlce}(I,J)$
• $\mathrm{Circle}(I,J)$$\overline{HC}$$L$
• $\mathrm{Circle}(I,J)$$\mathrm{Circle}(C,B)$$M$$K$
• $\overline{ML}$
• $\overline{KL}$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\overline{ML}$$N$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\overline{HC}$$O$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\overline{KL}$$P$

$MKPON$