Esta es la secuencia A054261

El ésimo número de contención prime es el número más bajo que contiene los primeros números primos como subcadenas. Por ejemplo, el número es el número más bajo que contiene los primeros 3 primos como subcadenas, lo que lo convierte en el tercer número de contención de primos.$n$$n$$235$

Es trivial descubrir que los primeros cuatro números de contención primos son $2$ , $23$ , $235$ y $2357$ , pero luego se vuelve más interesante. Como el próximo número primo es 11, el siguiente número de contención primo no es $235711$ , pero es $112357$ ya que se define como el número más pequeño con la propiedad.

Sin embargo, el verdadero desafío viene cuando vas más allá de 11. El siguiente número de contención principal es $113257$ . Tenga en cuenta que en este número, las subcadenas 11y 13se superponen. El número 3también se superpone con el número 13.

Es fácil demostrar que esta secuencia está aumentando, ya que el siguiente número debe cumplir con todos los criterios del número anterior y tener una subcadena más. Sin embargo, la secuencia no está aumentando estrictamente, como lo demuestran los resultados para n=10y n=11.

Reto

Su objetivo es encontrar tantos números de contención primos como sea posible. Su programa debería generarlos de manera ordenada, comenzando con 2 y subiendo.

Reglas

1. Se le permite codificar números primos.
2. No está permitido codificar números de contención primos ( 2es la única excepción), o cualquier número mágico que haga que el desafío sea trivial. Por favor, ser amable.
3. Puede usar cualquier idioma que desee. Incluya una lista de comandos para preparar el entorno para ejecutar el código.
4. Puede usar tanto la CPU como la GPU, y puede usar subprocesos múltiples.

Tanteo

La puntuación oficial será de mi computadora portátil (Dell XPS 9560). Su objetivo es generar tantos números de contención primarios como sea posible en 5 minutos.

Especificaciones

• Intel Core i7-7700HQ de 2,8 GHz (aumento de 3,8 GHz) 4 núcleos, 8 hilos.
• 16 GB de RAM DDR4 a 2400 MHz
• NVIDIA GTX 1050
• Linux Mint 18.3 de 64 bits

Los números encontrados hasta ahora, junto con el último primo agregado al número:

 1 =>                                                       2 (  2)
 2 =>                                                      23 (  3)
 3 =>                                                     235 (  5)
 4 =>                                                    2357 (  7)
 5 =>                                                  112357 ( 11)
 6 =>                                                  113257 ( 13)
 7 =>                                                 1131725 ( 17)
 8 =>                                               113171925 ( 19)
 9 =>                                              1131719235 ( 23)
10 =>                                            113171923295 ( 29)
11 =>                                            113171923295 ( 31)
12 =>                                           1131719237295 ( 37)
13 =>                                          11317237294195 ( 41)
14 =>                                        1131723294194375 ( 43)
15 =>                                      113172329419437475 ( 47)
16 =>                                     1131723294194347537 ( 53)
17 =>                                   113172329419434753759 ( 59)
18 =>                                  2311329417434753759619 ( 61)
19 =>                                231132941743475375961967 ( 67)
20 =>                               2311294134347175375961967 ( 71)
21 =>                              23112941343471735375961967 ( 73)
22 =>                             231129413434717353759619679 ( 79)
23 =>                           23112941343471735359619678379 ( 83)
24 =>                         2311294134347173535961967837989 ( 89)
25 =>                        23112941343471735359619678378979 ( 97)
26 =>                      2310112941343471735359619678378979 (101)
27 =>                    231010329411343471735359619678378979 (103)
28 =>                 101031071132329417343475359619678378979 (107)
29 =>              101031071091132329417343475359619678378979 (109)
30 =>              101031071091132329417343475359619678378979 (113)
31 =>           101031071091131272329417343475359619678378979 (127)
32 =>           101031071091131272329417343475359619678378979 (131)
33 =>         10103107109113127137232941734347535961967838979 (137)
34 =>      10103107109113127137139232941734347535961967838979 (139)
35 =>   10103107109113127137139149232941734347535961967838979 (149)
36 => 1010310710911312713713914923294151734347535961967838979 (151)

Gracias a Ardnauld, Ourous y japh por ampliar esta lista.

Tenga en cuenta que n = 10y n = 11son el mismo número, ya que $113171923295$ es el número más bajo que contiene todos los números $[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]$ , pero también contiene $31$ .

Como referencia, puede usar el hecho de que el script original de Python que escribí para generar esta lista anterior calcula los primeros 12 términos en aproximadamente 6 minutos.

Reglas adicionales

Después de que llegaron los primeros resultados, me di cuenta de que hay una buena posibilidad de que los mejores resultados terminen teniendo el mismo puntaje. En caso de empate, el ganador será el que tenga el menor tiempo para generar su resultado. Si dos o más respuestas producen sus resultados igualmente rápido, simplemente será una victoria empatada.

Nota final

El tiempo de ejecución de 5 minutos solo se pone para garantizar una puntuación justa. Me interesaría mucho ver si podemos impulsar aún más la secuencia OEIS (en este momento contiene 17 números). Con el código de Ourous, he generado todos los números hasta n = 26, pero planeo dejar que el código se ejecute por un período de tiempo más largo.

Marcador

1. Python 3 + Herramientas OR de Google : 169
2. Scala : 137 (no oficial)
3. Solucionador Concorde TSP : 84 (no oficial)
4. Conjunto C ++ (GCC) + x86 : 62
5. Limpio : 25
6. JavaScript (Node.js) : 24

Python 3 + Google OR-Tools , puntaje 169 en 295 segundos (puntaje oficial)

Cómo funciona

Después de descartar los primos redundantes contenidos en otros primos, dibuje un gráfico dirigido con una arista desde cada primo a cada uno de sus sufijos, con distancia cero, y una arista a cada primo desde cada uno de sus prefijos, con la distancia definida por el número de dígitos agregados . Buscamos el primer camino más corto lexicográficamente a través del gráfico comenzando en el prefijo vacío, pasando por cada primo (pero no necesariamente a través de cada prefijo o sufijo), y terminando en el sufijo vacío.

Por ejemplo, aquí están los bordes de la ruta óptima ε → 11 → 1 → 13 → 3 → 31 → 1 → 17 → ε → 19 → ε → 23 → ε → 29 → ε → 5 → ε para n = 11, correspondiente a la cadena de salida 113171923295.

En comparación con la reducción directa al problema del vendedor ambulante , tenga en cuenta que al conectar los números primos indirectamente a través de estos nodos de sufijo / prefijo adicionales, en lugar de directamente entre sí, hemos reducido drásticamente la cantidad de bordes que debemos tener en cuenta. Pero dado que los nodos adicionales no necesitan atravesarse exactamente una vez, esto ya no es una instancia de TSP.

Utilizamos el solucionador de restricciones incremental CP-SAT de Google OR-Tools, primero para minimizar la longitud total de la ruta, luego para minimizar cada grupo de dígitos agregados en orden. Inicializamos el modelo solo con restricciones locales: cada primo precede a un sufijo y tiene éxito un prefijo, mientras que cada sufijo / prefijo precede y tiene éxito el mismo número de primos. El modelo resultante podría contener ciclos desconectados; Si es así, agregamos restricciones de conectividad adicionales dinámicamente y volvemos a ejecutar el solucionador.

Código

import multiprocessing
from ortools.sat.python import cp_model


def superstring(strings):
    def gen_prefixes(s):
        for i in range(len(s)):
            a = s[:i]
            if a in affixes:
                yield a

    def gen_suffixes(s):
        for i in range(1, len(s) + 1):
            a = s[i:]
            if a in affixes:
                yield a

    def solve():
        def find_string(s):
            found_strings.add(s)
            for i in range(1, len(s) + 1):
                a = s[i:]
                if (
                    a in affixes
                    and a not in found_affixes
                    and solver.Value(suffix[s, a])
                ):
                    found_affixes.add(a)
                    q.append(a)
                    break

        def cut(skip):
            model.AddBoolOr(
                skip
                + [
                    suffix[s, a]
                    for s in found_strings
                    for a in gen_suffixes(s)
                    if a not in found_affixes
                ]
                + [
                    prefix[a, s]
                    for s in unused_strings
                    if s not in found_strings
                    for a in gen_prefixes(s)
                    if a in found_affixes
                ]
            )
            model.AddBoolOr(
                skip
                + [
                    suffix[s, a]
                    for s in unused_strings
                    if s not in found_strings
                    for a in gen_suffixes(s)
                    if a in found_affixes
                ]
                + [
                    prefix[a, s]
                    for s in found_strings
                    for a in gen_prefixes(s)
                    if a not in found_affixes
                ]
            )

        def search():
            while q:
                a = q.pop()
                for s in prefixed[a]:
                    if (
                        s in unused_strings
                        and s not in found_strings
                        and solver.Value(prefix[a, s])
                    ):
                        find_string(s)
            return not (unused_strings - found_strings)

        while True:
            if solver.Solve(model) != cp_model.OPTIMAL:
                raise RuntimeError("Solve failed")

            found_strings = set()
            found_affixes = set()
            if part is None:
                found_affixes.add("")
                q = [""]
            else:
                part_ix = solver.Value(part)
                p, next_affix, next_string = parts[part_ix]
                q = []
                find_string(next_string)
            if search():
                break

            if part is not None:
                if part_ix not in partb:
                    partb[part_ix] = model.NewBoolVar("partb%s_%s" % (step, part_ix))
                    model.Add(part == part_ix).OnlyEnforceIf(partb[part_ix])
                    model.Add(part != part_ix).OnlyEnforceIf(partb[part_ix].Not())
                cut([partb[part_ix].Not()])
                if last_string is None:
                    found_affixes.add(next_affix)
                else:
                    find_string(last_string)
                q.append(next_affix)
                if search():
                    continue

            cut([])

    solver = cp_model.CpSolver()
    solver.parameters.num_search_workers = 4
    affixes = {s[:i] for s in strings for i in range(len(s))} & {
        s[i:] for s in strings for i in range(1, len(s) + 1)
    }
    prefixed = {}
    for s in strings:
        for a in gen_prefixes(s):
            prefixed.setdefault(a, []).append(s)
    suffixed = {}
    for s in strings:
        for a in gen_suffixes(s):
            suffixed.setdefault(a, []).append(s)
    unused_strings = set(strings)
    last_string = None
    part = None

    model = cp_model.CpModel()
    prefix = {
        (a, s): model.NewBoolVar("prefix_%s_%s" % (a, s))
        for a in affixes
        for s in prefixed[a]
    }
    suffix = {
        (s, a): model.NewBoolVar("suffix_%s_%s" % (s, a))
        for a in affixes
        for s in suffixed[a]
    }
    for s in strings:
        model.Add(sum(prefix[a, s] for a in gen_prefixes(s)) == 1)
        model.Add(sum(suffix[s, a] for a in gen_suffixes(s)) == 1)
    for a in affixes:
        model.Add(
            sum(suffix[s, a] for s in suffixed[a])
            == sum(prefix[a, s] for s in prefixed[a])
        )

    length = sum(prefix[a, s] * (len(s) - len(a)) for a in affixes for s in prefixed[a])
    model.Minimize(length)
    solve()
    model.Add(length == solver.Value(length))

    out = ""
    for step in range(len(strings)):
        in_parts = set()
        parts = []
        for a in [""] if last_string is None else gen_suffixes(last_string):
            for s in prefixed[a]:
                if s in unused_strings and s not in in_parts:
                    in_parts.add(s)
                    parts.append((s[len(a) :], a, s))
        parts.sort()
        part = model.NewIntVar(0, len(parts) - 1, "part%s" % step)
        partb = {}
        for part_ix, (p, a, s) in enumerate(parts):
            if last_string is not None:
                model.Add(part != part_ix).OnlyEnforceIf(suffix[last_string, a].Not())
            model.Add(part != part_ix).OnlyEnforceIf(prefix[a, s].Not())
        model.Minimize(part)
        solve()
        part_ix = solver.Value(part)
        model.Add(part == part_ix)
        p, a, last_string = parts[part_ix]
        unused_strings.remove(last_string)
        out += p
    return out


def gen_primes():
    yield 2
    n = 3
    d = {}
    for p in gen_primes():
        p2 = p * p
        d[p2] = 2 * p
        while n <= p2:
            if n in d:
                q = d.pop(n)
                m = n + q
                while m in d:
                    m += q
                d[m] = q
            else:
                yield n
            n += 2


def gen_inputs():
    num_primes = 0
    strings = []

    for new_prime in gen_primes():
        num_primes += 1
        new_string = str(new_prime)
        strings = [s for s in strings if s not in new_string] + [new_string]
        yield strings


with multiprocessing.Pool() as pool:
    for i, out in enumerate(pool.imap(superstring, gen_inputs())):
        print(i + 1, out, flush=True)

Resultados

Aquí están los primeros 1000 números de contención primos , calculados en 1½ días en un sistema de 8 núcleos / 16 hilos.

Conjunto C ++ (GCC) + x86, puntaje _{32 36} 62 en 259 segundos (oficial)

Resultados calculados hasta ahora. Mi computadora se queda sin memoria después 65.

1 2
2 23
3 235
4 2357
5 112357
6 113257
7 1131725
8 113171925
9 1131719235
10 113171923295
11 113171923295
12 1131719237295
13 11317237294195
14 1131723294194375
15 113172329419437475
16 1131723294194347537
17 113172329419434753759
18 2311329417434753759619
19 231132941743475375961967
20 2311294134347175375961967
21 23112941343471735375961967
22 231129413434717353759619679
23 23112941343471735359619678379
24 2311294134347173535961967837989
25 23112941343471735359619678378979
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45 10103107109113127137139149151571631671731792329418191934347535961978389
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65 10103071071091271311371491515716313916721173223322772293239241792518191932572632692819728343475359619989

Todos estos están de acuerdo con la salida del solucionador basado en Concorde , por lo que tienen una buena posibilidad de ser correctos.

Registro de cambios:

• Cálculo incorrecto para la longitud de contexto necesaria. La versión anterior era 1 demasiado grande y también tenía un error. Puntuación: 32 34

• Se agregó optimización de grupo de contexto igual. Puntuación: 34 36

• Revisó el algoritmo para usar cadenas libres de contexto correctamente, además de algunas otras optimizaciones. Puntuación: 36 62

• Se agregó una reseña adecuada.

• Se agregó la variante de números primos.

Cómo funciona

Advertencia: esto es un tugurio cerebral. Desplácese hasta el final si solo desea el código.

Abreviaturas

• PCN : problema de número de contención principal, es decir, este desafío
• SCS : la supercadena común más corta
• TSP : problema de vendedor ambulante

Este programa básicamente utiliza el algoritmo de programación dinámica de libros de texto para el TSP.

1. Además de una reducción de PCN / SCS, el problema que realmente estamos resolviendo, a TSP.
2. Además de usar contextos de elementos en lugar de todos los dígitos en cada elemento.
3. Además, subdividir el problema en función de los números primos que no pueden superponerse con los extremos de otros números primos.
4. Más cálculos de fusión para números primos con los mismos dígitos de inicio / fin.
5. Además de tablas de búsqueda precalculadas y una tabla hash personalizada.
6. Además de algunas captaciones previas de nivel bajo y empaque de bits.

Eso es un montón de posibles errores. Después de jugar con la entrada de anselm y no lograr obtener resultados incorrectos, al menos debería demostrar que mi enfoque general es correcto.

Aunque la solución basada en Concorde es (mucho, mucho) más rápida, se basa en la misma reducción, por lo que esta explicación se aplica a ambos. Además, esta solución se puede adaptar para OEIS A054260 , la secuencia de primos que contiene primos; No sé cómo resolver eso de manera eficiente en el marco de TSP. Entonces todavía es algo relevante.

Reducción de TSP

Comencemos demostrando que reducir a TSP es correcto. Tenemos un conjunto de cuerdas, digamos

A = 13, 31, 37, 113, 137, 211

y queremos encontrar la supercadena más pequeña que contenga estos elementos.

Saber la longitud es suficiente

Para el PCN, si hay varias cadenas más cortas, tenemos que devolver la lexicografía más pequeña. Pero veremos un problema diferente (y más fácil).

• SCS : dado un prefijo inicial y un conjunto de elementos, busque la cadena más corta que contenga todos los elementos como subcadenas y comience con ese prefijo.
• Longitud SCS : solo encuentra la longitud del SCS.

Si podemos resolver SCS-Length, podemos reconstruir la solución más pequeña y obtener el PCN. Si sabemos que la solución más pequeña comienza con nuestro prefijo, intentamos extenderlo agregando cada elemento, en orden lexicográfico, y resolviendo la longitud nuevamente. Cuando encontramos el elemento más pequeño para el que la longitud de la solución es la misma, sabemos que este debe ser el siguiente elemento en la solución más pequeña (¿por qué?), Así que agréguelo y repita en los elementos restantes. Este método para llegar a la solución se llama auto reducción .

Recorriendo el gráfico de superposición máxima

Supongamos que comenzamos a resolver SCS para el ejemplo anterior a mano. Probablemente:

• Deshágase de , 13y 37porque ya son subcadenas de los otros elementos. Cualquier solución que contenga 137, por ejemplo, también debe contener 13y 37.
• Empezar a considerar las combinaciones 113,137 → 1137, 211,113 → 2113etc.

De hecho, esto es lo correcto, pero demostrémoslo por completo. Tome cualquier solución SCS; por ejemplo, una más corta supercuerdas para AIS

2113137

y se puede descomponer en una concatenación de todos los elementos en A:

211
 113
   31
    137

(Ignoramos los elementos redundantes 13, 37). Observe que:

1. Las posiciones inicial y final de cada elemento aumentan al menos 1.
2. Cada elemento se superpone con el elemento anterior en la mayor medida posible.

Mostraremos que cada supercadena más corta se puede descomponer de esta manera:

1. Por cada par de artículos adyacentes x,y, ycomienza y termina en posiciones posteriores a x. Si esto no es cierto, entonces xes una subcadena de yo viceversa. Pero ya eliminamos todos los elementos que son subcadenas, por lo que eso no puede suceder.

2. Suponga que los elementos adyacentes en la secuencia tienen una superposición menor que la máxima, por ejemplo, en 21113lugar de 2113. Pero eso haría que el extra sea 1redundante. Ningún elemento posterior necesita la inicial 1(como en 2 1 113), porque ocurre antes de 113, y todos los elementos que aparecen después 113no pueden comenzar con un dígito anterior 113(ver punto 1). Un argumento similar evita que el último extra 1(como en 211 1 3) sea utilizado por cualquier elemento anterior 211. Pero nuestra supercadena más corta , por definición, no tendrá dígitos redundantes, por lo que no se producirán superposiciones no máximas.

Con estas propiedades, podemos convertir cualquier problema de SCS en un TSP:

1. Elimine todos los elementos que son subcadenas de otros elementos.
2. Cree un gráfico dirigido que tenga un vértice para cada elemento.
3. Para cada par de artículos x, y, añadir un borde de xa ycuyo peso es el número de símbolos adicionales agregados añadiendo ya xcon superposición máxima. Por ejemplo, agregaríamos un borde de 211a 113con peso 1, porque 2113agrega un dígito más 211. Repita para el borde de ya x.
4. Agregue un vértice para el prefijo inicial y los bordes a todos los demás elementos.

Cualquier ruta en este gráfico, desde el prefijo inicial, corresponde a una concatenación de solapamiento máximo de todos los elementos en esa ruta, y el peso total de la ruta es igual a la longitud de la cadena concatenada. Por lo tanto, cada recorrido de menor peso, que visita todos los elementos al menos una vez, corresponde a una supercadena más corta.

Y esa es la reducción de SCS (y SCS-Length) a TSP.

Algoritmo de programación dinámica

Este es un algoritmo clásico, pero lo modificaremos bastante, así que aquí hay un recordatorio rápido.

(He escrito esto como un algoritmo para SCS-Length en lugar de TSP. Son esencialmente equivalentes, pero el vocabulario de SCS ayuda cuando llegamos a las optimizaciones específicas de SCS).

Llame al conjunto de elementos de entrada Ay al prefijo dado P. Para cada ksubconjunto Sde Aelementos y cada elemento ede S, calculamos la longitud de la cadena más corta que comienza con P, contiene todo Sy termina con e. Esto implica almacenar una tabla de valores de (S, e)a sus SCS-Longitudes.

Cuando llegamos a cada subconjunto S, las necesidades de mesa a que ya contienen los resultados para S - {e}para todos een S. Como la tabla puede ser bastante grande, calculo los resultados para todos los ksubconjuntos de elementos, luego k+1, etc. Para esto, solo necesitamos almacenar los resultados para ky k+1en cualquier momento. Esto reduce el uso de memoria en un factor aproximado sqrt(|A|).

Un detalle más: en lugar de calcular la longitud mínima de SCS, en realidad calculo la superposición total máxima entre los elementos. (Para obtener la longitud SCS, solo resta la superposición total de la suma de las longitudes de los elementos). El uso de superposiciones ayuda a algunas de las siguientes optimizaciones.

[2.] Contextos de ítems

Un contexto es el sufijo más largo de un elemento que puede superponerse con los siguientes elementos. Si nuestros artículos son 113,211,311, entonces 11es el contexto para 211y 311. (También es el contexto de prefijo para 113, que veremos en la parte [4.])

En el algoritmo DP anterior, realizamos un seguimiento de las soluciones SCS que terminan con cada elemento, pero en realidad no nos importa en qué elemento termina un SCS. Todo lo que necesitamos saber es el contexto. Así, por ejemplo, si dos SCS para el mismo conjunto terminan en 23y 43, cualquier SCS que continúe desde uno también funcionará para el otro.

Esta es una optimización significativa, porque los primos no triviales terminan solo en los dígitos 1 3 7 9. De hecho, los cuatro contextos de un solo dígito 1,3,7,9(más el contexto vacío) son suficientes para calcular los PCN para primos hasta 131.

[3.] Elementos sin contexto

Otros ya han señalado que muchos números primos comienzan con los dígitos 2,4,5,6,8, como 23,29,41,43.... Ninguno de estos puede superponerse con un primo anterior (aparte de 2y 5, los primos no pueden terminar en estos dígitos; 2y 5ya se habrán eliminado como redundantes). En el código, estos se denominan cadenas sin contexto .

Si nuestra entrada tiene elementos sin contexto, cada solución SCS se puede dividir en bloques

<prefix>... 23... 29... 41... 43...

y las superposiciones en cada bloque son independientes de los otros bloques. Podemos barajar los bloques o intercambiar elementos entre bloques que tienen el mismo contexto, sin cambiar la longitud de SCS.

Por lo tanto, solo necesitamos hacer un seguimiento de los posibles conjuntos múltiples de contextos, uno para cada bloque.

Ejemplo completo: para los números primos menores de 100, tenemos 11 elementos sin contexto y sus contextos:

23 29 41 43 47 53 59 61 67 83 89
 3  9  1  3  7  3  9  1  7  3  9

Nuestro contexto inicial de múltiples conjuntos:

1 1 3 3 3 3 7 7 9 9 9

El código se refiere a estos como contextos combinados , o ccontexts . Entonces, solo necesitamos considerar subconjuntos de los elementos restantes:

11 13 17 19 31 37 71 73 79 97

[4.] Fusión de contexto

Una vez que llegamos a números primos con 3 dígitos o más, hay más redundancias:

 101 151 181 191 ...
 107 127 157 167 197 ...
 109 149 1009 ...

Estos grupos comparten los mismos contextos de inicio y finalización (generalmente, depende de qué otros números primos estén en la entrada), por lo que no se pueden distinguir cuando se superponen otros elementos. Solo nos importan las superposiciones, por lo que podemos tratar los números primos en estos grupos de contexto igual como indistinguibles. Ahora nuestros subconjuntos DP se condensan en multisubsets

4 × 1_1
5 × 1_7
3 × 1_9

(Esta es también la razón por la cual el solucionador maximiza la longitud de superposición en lugar de minimizar la longitud de SCS: esta optimización conserva la longitud de superposición).

Resumen: las optimizaciones de alto nivel

Ejecutar con INFOsalida de depuración imprimirá estadísticas como

solve: N=43, N_search=26, ccontext_size=18, #contexts=7, #eq_context_groups=16

Esta línea particular es para la longitud SCS de los primeros 62 primos, 2a 293.

• Después de eliminar elementos redundantes, nos quedan 43 primos que no son subcadenas entre sí.
• Hay 7 contextos únicos : 1,3,7,11,13,27más la cadena vacía.
• 17 de los 43 números primos son libres de contexto : 43,47,53,59,61,89,211,223,227,229,241,251,257,263,269,281,283. Estos y el prefijo dado (en este caso, cadena vacía) forman la base del contexto combinado inicial .
• En los 26 elementos restantes ( N_search), hay 16 grupos de contexto igual no triviales .

Al explotar estas estructuras, el cálculo de la longitud SCS solo necesita verificar 8498336 (multiset, ccontext)combinaciones. La programación dinámica directa tomaría 43×2^43 > 3×10^14pasos, y la fuerza bruta de las permutaciones tomaría 6×10^52pasos. El programa aún necesita ejecutar SCS-Length varias veces más para reconstruir la solución PCN, pero eso no lleva mucho más tiempo.

[5., 6.] Las optimizaciones de bajo nivel

En lugar de realizar operaciones de cadena, el solucionador SCS-Length funciona con índices de elementos y contextos. También precalculo la cantidad de superposición entre cada contexto y par de elementos.

Inicialmente, el código usaba GCC unordered_map, que parece ser una tabla hash con cubos de listas vinculadas y tamaños hash principales (es decir, divisiones costosas). Así que escribí mi propia tabla hash con sondeo lineal y potencia de dos tamaños. Esto genera una aceleración de 3 × y una reducción de 3 × en la memoria.

Cada estado de la tabla consta de un conjunto múltiple de elementos, un contexto combinado y un recuento de superposición. Estos se empaquetan en entradas de 128 bits: 8 para el recuento de superposición, 56 para el conjunto múltiple (como un conjunto de bits con codificación de longitud de ejecución) y 64 para el ccontext (RLE delimitado por 1). Codificar y decodificar el ccontext fue la parte más complicada y terminé usando la nueva PDEPinstrucción (es tan nueva que GCC todavía no tiene un intrínseco).

Finalmente, acceder a una tabla hash es realmente lento cuando se Nhace grande, porque la tabla ya no cabe en la memoria caché. Pero la única razón por la que escribimos en la tabla hash es para actualizar el recuento de superposición más conocido para cada estado. El programa divide este paso en una cola de captación previa, y el bucle interno capta previamente cada búsqueda de la tabla unas pocas iteraciones antes de actualizar esa ranura. Otra aceleración 2 × en mi computadora.

Bonus: mejoras adicionales

AKA ¿Cómo es Concorde tan rápido?

No sé mucho acerca de los algoritmos TSP, así que aquí hay una suposición aproximada.

Concorde utiliza el método de ramificación y corte para resolver TSP.

• Codifica el TSP como un programa lineal entero
• Utiliza métodos de programación lineal, así como heurísticas iniciales, para obtener límites inferior y superior en la distancia óptima del recorrido.
• Estos límites se introducen en una rama y se unen algoritmo recursivo de que busca la solución óptima. Se pueden podar grandes partes del árbol de búsqueda, si el límite inferior calculado para un subárbol excede un límite superior conocido
• También busca planos de corte para ajustar la relajación LP y obtener mejores límites. Típicamente, estos cortes codifican el conocimiento del hecho de que las variables de decisión deben ser enteras

Ideas obvias que podríamos probar:

• Poda en el solucionador SCS-Length, especialmente al reconstruir la solución PCN (en ese momento, ya sabemos cuál es la longitud de la solución)
• Derivando algunos límites inferiores fáciles de calcular para SCS, que pueden usarse para ayudar a la poda
• Encontrar más simetrías o redundancias en la distribución de números primos para explotar

Sin embargo, la combinación de ramificación y corte es muy poderosa, por lo que es posible que no podamos vencer a un solucionador de última generación como Concorde, por grandes valores de N .

Bonus bonus: los primos de contención principales

A diferencia de la solución basada en Concorde, este programa se puede modificar para encontrar los primos que contienen más pequeños ( OEIS A054260 ). Esto implica tres cambios:

1. $1/\ln(n)$

2. Modifique el código del solucionador SCS-Length para clasificar las soluciones en función de si sus sumas de dígitos son divisibles por 3. Esto implica agregar otra entrada, la suma de dígitos mod 3, a cada estado DP. Esto reduce en gran medida las posibilidades de que el solucionador principal se atasque con permutaciones no principales. Este es el cambio que no pude resolver cómo traducir a TSP. Se puede codificar con ILP, pero luego tendría que aprender sobre esta cosa llamada "desigualdad de subtour" y cómo generarlos.

3. Puede ser que todos los PCN más cortos sean divisibles por 3. En ese caso, el primo de contención de primo más pequeño debe ser al menos un dígito más largo que el PCN. Si nuestro solucionador SCS-Length detecta esto, el código de reconstrucción de la solución tiene la opción de agregar un dígito adicional en cualquier punto del proceso. Intenta agregar cada dígito posible 0..9y cada elemento restante al prefijo de solución actual, en orden lexicográfico como antes.

Con estos cambios, puedo obtener las soluciones hasta N=62. Excepto 47cuando el código de reconstrucción se atasca y se da por vencido después de 1 millón de pasos (todavía no sé por qué). Los primos de contención principales son:

1 2
2 23
3 523
4 2357
5 112573
6 511327
7 1135217
8 1113251719
9 11171323519
10 113171952923
11 113171952923
12 11131951723729
13 11317237419529
14 1131723294375419
15 113172329541947437
16 1131723294195343747
17 1113172329419434753759
18 11231329417437475361959
19 231132941743475375967619
20 2311294134347175967619537
21 23112941343471735967619537
22 231129413434717359537679619
23 23112941343471735375961983679
24 11231294134347173535961967983789
25 23112941343471735359679837619789
26 2310112941343471735359619783789679
27 231010329411343471735359619678379897
28 101031071132329417343475359619798376789
29 101031071091132329417343475359619767898379
30 101031071091132329417343475359619767898379
31 1010310710911131272329417343475359619678979837
32 1010310710911131272329417343475359619678979837
33 10103107109113127137232941734347535978961967983
34 10103107109113127137139232941734347535961967838979
35 10103107109113127137139149232941734347535961976798389
36 1010310710911312713713914923294151734347535976198389679
37 1010310710911312713713914915157232941734347535967619798389
38 10103107109111312713713914915157163232941734347535967897961983
39 10103107109113127137139149151571631672329417343475961979838953
40 10103107109113127137139149151571631672329417343475961979838953
41 10103107109111312713713914915157163167173232941794347535976198983
42 1010310710911131271371391491515716316717323294179434761819535989783
43 1010310710911131271371391491515716316723294173434753596181917989783
44 101031071091131271371391491515716316717323294179434753836181919389597
45 10103107109113127137139149151571631671731792329418191934347538961975983
46 101031071091113127137139149151571631671731791819193232941974347535989836199
47 (failed)
48 1010310710912713137149151571631671731791819193211392232941974347895359836199
49 10103107109112713137149151571631671731791819193211392232272941974347619983535989
50 10103107109127131371491515716316717317918191932113922322722941974347595389836199
51 101031071091271313714915157163167173179181919321139223322722941974347595389619983
52 101031071091271313714915157163167173179181919321139223322722923941974347538361995989
53 10103107109112713137149151571631671731791819193211392233227229239241974347619983538959
54 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251974347619953835989
55 1010310710911271313714915157163167173179211392233227229239241819193251974325747596199538983
56 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572634347619959895383
57 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572632694359538983619947
58 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572632694359538983619947
59 1010310710912713137149151571631671731792113922332277229239241819193251972572632694347535983896199
60 1010310710911271313714915157163167173211392233227722923924179251819193257263269281974347535961998389
61 1010310710912713137149151571631671732113922332277229239241792518191932572632692819728343538947619959
62 10103107109127131371491515716316717321139223322772293239241792518191932572632692819728343534759896199

Código

Compilar con

g++ -std=c++14 -O3 -march=native pcn.cpp -o pcn

Para la versión de número primo, también enlace con GMPlib, por ejemplo

g++ -std=c++14 -O3 -march=native pcn-prime.cpp -o pcn-prime -lgmp -lgmpxx

Este programa utiliza la instrucción PDEP, que solo está disponible en procesadores x86 recientes (Haswell +). Tanto mi computadora como la de maxb lo admiten. Si el suyo no lo hace, el programa se compilará en una versión de software lenta. Se imprimirá una advertencia de compilación cuando esto suceda.

#include <cassert>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_map>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <array>

using namespace std;

void debug_dummy(...) {
}

#ifndef INFO
//#  define INFO(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#  define INFO debug_dummy
#endif

#ifndef DEBUG
//#    define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#  define DEBUG debug_dummy
#endif

bool is_prime(size_t n)
{
    for (size_t d = 2; d * d <= n; ++d) {
        if (n % d == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

// bitset, works for up to 64 strings
using bitset_t = uint64_t;
const size_t bitset_bits = 64;

// Find position of n-th set bit of x
uint64_t bit_select(uint64_t x, size_t n) {
#ifdef __BMI2__
    // Bug: GCC doesn't seem to provide the _pdep_u64 intrinsic,
    // despite what its manual claims. Neither does Clang!
    //size_t r = _pdep_u64(ccontext_t(1) << new_context, ccontext1);
    size_t r;
    // NB: actual operand order is %2, %1 despite the intrinsic taking %1, %2
    asm ("pdep %2, %1, %0"
         : "=r" (r)
         : "r" (uint64_t(1) << n), "r" (x)
         );
    return __builtin_ctzll(r);
#else
#  warning "bit_select: no x86 BMI2 instruction set, falling back to slow code"
    size_t k = 0, m = 0;
    for (; m < 64; ++m) {
        if (x & (uint64_t(1) << m)) {
            if (k == n) {
                break;
            }
            ++k;
        }
    }
    return m;
#endif
}

#ifndef likely
#  define likely(x) __builtin_expect(x, 1)
#endif
#ifndef unlikely
#  define unlikely(x) __builtin_expect(x, 0)
#endif

// Return the shortest string that begins with a and ends with b
string join_strings(string a, string b) {
    for (size_t overlap = min(a.size(), b.size()); overlap > 0; --overlap) {
        if (a.substr(a.size() - overlap) == b.substr(0, overlap)) {
            return a + b.substr(overlap);
        }
    }
    return a + b;
}

vector <string> dedup_items(string context0, vector <string> items)
{
    vector <string> items2;
    for (size_t i = 0; i < items.size(); ++i) {
        bool dup = false;
        if (context0.find(items[i]) != string::npos) {
                dup = true;
        } else {
            for (size_t j = 0; j < items.size(); ++j) {
                if (items[i] == items[j]?
                    i > j
                        : items[j].find(items[i]) != string::npos) {
                    dup = true;
                    break;
                }
            }
        }
        if (!dup) {
            items2.push_back(items[i]);
        }
    }
    return items2;
}

// Table entry used in main solver
const size_t solver_max_item_set = bitset_bits - 8;
struct Solver_entry
{
    uint8_t score : 8;
    bitset_t items : solver_max_item_set;
    bitset_t context;

    Solver_entry()
    {
        score = 0xff;
        items = 0;
        context = 0;
    }
    bool is_empty() const {
        return score == 0xff;
    }
};

// Simple hash table to avoid stdlib overhead
struct Solver_table
{
    vector <Solver_entry> t;
    size_t t_bits;
    size_t size_;
    size_t num_probes_;

    Solver_table()
    {
        // 256 slots initially -- this needs to be not too small
        // so that the load factor formula in update_score works
        t_bits = 8;
        size_ = 0;
        num_probes_ = 0;
        resize(t_bits);
    }
    static size_t entry_hash(bitset_t items, bitset_t context)
    {
        uint64_t h = 0x3141592627182818ULL;
        // Add context first, since its bits are generally
        // less well distributed than items
        h += context;
        h ^= h >> 23;
        h *= 0x2127599bf4325c37ULL;
        h ^= h >> 47;
        h += items;
        h ^= h >> 23;
        h *= 0x2127599bf4325c37ULL;
        h ^= h >> 47;
        return h;
    }
    size_t probe_index(size_t hash) const {
        return hash & ((size_t(1) << t_bits) - 1);
    }
    void resize(size_t t2_bits)
    {
        assert (size_ < size_t(1) << t2_bits);
        vector <Solver_entry> t2(size_t(1) << t2_bits);
        for (auto entry: t) {
            if (!entry.is_empty()) {
                size_t h = entry_hash(entry.items, entry.context);
                size_t mask = (size_t(1) << t2_bits) - 1;
                size_t idx = h & mask;
                while (!t2[idx].is_empty()) {
                    idx = (idx + 1) & mask;
                    ++num_probes_;
                }
                t2[idx] = entry;
            }
        }
        t.swap(t2);
        t_bits = t2_bits;
    }
    uint8_t update_score(bitset_t items, bitset_t context, uint8_t score)
    {
        // Ensure we can insert a new item without resizing
        assert (size_ < t.size());

        size_t index = probe_index(entry_hash(items, context));
        size_t mask = (size_t(1) << t_bits) - 1;
        for (size_t p = 0; p < t.size(); ++p, index = (index + 1) & mask) {
            ++num_probes_;
            if (likely(t[index].items == items && t[index].context == context)) {
                t[index].score = max(t[index].score, score);
                return t[index].score;
            }
            if (t[index].is_empty()) {
                // add entry
                t[index].score = score;
                t[index].items = items;
                t[index].context = context;
                ++size_;
                // load factor 4/5 -- ideally 2-3 average probes per lookup
                if (5*size_ > 4*t.size()) {
                    resize(t_bits + 1);
                }
                return score;
            }
        }
        assert (false && "bug: hash table probe loop");
    }
    size_t size() const {
        return size_;
    }
    void swap(Solver_table table)
    {
        t.swap(table.t);
        ::swap(size_, table.size_);
        ::swap(t_bits, table.t_bits);
        ::swap(num_probes_, table.num_probes_);
    }
};

/*
 * Main solver code.
 */
struct Solver
{
    // Inputs
    vector <string> items;
    string context0;
    size_t context0_index;

    // Mapping between strings and indices
    vector <string> context_to_string;
    unordered_map <string, size_t> string_to_context;

    // Items that have context-free prefixes, i.e. prefixes that
    // never overlap with the end of other items nor context0
    vector <bool> contextfree;

    // Precomputed contexts (suffixes) for each item
    vector <size_t> item_context;
    // Precomputed updates: (context, string) to overlap amount
    vector <vector <size_t>> join_overlap;

    Solver(vector <string> items, string context0)
        :items(items), context0(context0)
    {
        items = dedup_items(context0, items);
        init_context_();
    }

    void init_context_()
    {
        /*
         * Generate all relevant item-item contexts.
         *
         * At this point, we know that no item is a substring of
         * another, nor of context0. This means that the only contexts
         * we need to care about, are those generated from maximal join
         * overlaps between any two items.
         *
         * Proof:
         * Suppose that the shortest containing string needs some other
         * kind of context. Maybe it depends on a context spanning
         * three or more items, say X,Y,Z. But if Z ends after Y and
         * interacts with X, then Y must be a substring of Z.
         * This cannot happen, because we removed all substrings.
         *
         * Alternatively, it depends on a non-maximal join overlap
         * between two strings, say X,Y. But if this overlap does not
         * interact with any other string, then we could maximise it
         * and get a shorter solution. If it does, then call this
         * other string Z. We would get the same contradiction as in
         * the previous case with X,Y,Z.
         */
        size_t N = items.size();
        vector <size_t> max_prefix_overlap(N), max_suffix_overlap(N);
        size_t context0_suffix_overlap = 0;
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            for (size_t j = 0; j < N; ++j) {
                if (i == j) continue;
                string joined = join_strings(items[j], items[i]);
                size_t overlap = items[j].size() + items[i].size() - joined.size();
                string context = items[i].substr(0, overlap);
                max_prefix_overlap[i] = max(max_prefix_overlap[i], overlap);
                max_suffix_overlap[j] = max(max_suffix_overlap[j], overlap);

                if (string_to_context.find(context) == string_to_context.end()) {
                    string_to_context[context] = context_to_string.size();
                    context_to_string.push_back(context);
                }
            }

            // Context for initial join with context0
            {
                string joined = join_strings(context0, items[i]);
                size_t overlap = context0.size() + items[i].size() - joined.size();
                string context = items[i].substr(0, overlap);
                max_prefix_overlap[i] = max(max_prefix_overlap[i], overlap);
                context0_suffix_overlap = max(context0_suffix_overlap, overlap);

                if (string_to_context.find(context) == string_to_context.end()) {
                    string_to_context[context] = context_to_string.size();
                    context_to_string.push_back(context);
                }
            }
        }
        // Now compute all canonical trailing contexts
        context0_index = string_to_context[
                           context0.substr(context0.size() - context0_suffix_overlap)];
        item_context.resize(N);
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            item_context[i] = string_to_context[
                                items[i].substr(items[i].size() - max_suffix_overlap[i])];
        }

        // Now detect context-free items
        contextfree.resize(N);
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            contextfree[i] = (max_prefix_overlap[i] == 0);
            if (contextfree[i]) {
                DEBUG("  contextfree: %s\n", items[i].c_str());
            }
        }

        // Now compute all possible overlap amounts
        join_overlap.resize(context_to_string.size(), vector <size_t> (N));
        for (size_t c_index = 0; c_index < context_to_string.size(); ++c_index) {
            const string& context = context_to_string[c_index];
            for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
                string joined = join_strings(context, items[i]);
                size_t overlap = context.size() + items[i].size() - joined.size();
                join_overlap[c_index][i] = overlap;
            }
        }
    }

    // Main solver.
    // Returns length of shortest string containing all items starting
    // from context0 (context0's length not included).
    size_t solve() const
    {
        size_t N = items.size();

        // Length, if joined without overlaps. We try to improve this by
        // finding overlaps in the main iteration
        size_t base_length = 0;
        for (auto s: items) {
            base_length += s.size();
        }

        // Now take non-context-free items. We will only need to search
        // over these items.
        vector <size_t> search_items;
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            if (!contextfree[i]) {
                search_items.push_back(i);
            }
        }
        size_t N_search = search_items.size();

        /*
         * Some groups of strings have the same context transitions.
         * For example "17", "107", "127", "167" all have an initial
         * context of "1" and a trailing context of "7", no other
         * overlaps are possible with other primes.
         *
         * We group these strings and treat them as indistinguishable
         * during the main algorithm.
         */
        auto eq_context = [&](size_t i, size_t j) {
            if (item_context[i] != item_context[j]) {
                return false;
            }
            for (size_t ci = 0; ci < context_to_string.size(); ++ci) {
                if (join_overlap[ci][i] != join_overlap[ci][j]) {
                    return false;
                }
            }
            return true;
        };
        vector <size_t> eq_context_group(N_search, size_t(-1));
        for (size_t si = 0; si < N_search; ++si) {
            for (size_t sj = si-1; sj+1 > 0; --sj) {
                size_t i = search_items[si], j = search_items[sj];
                if (!contextfree[j] && eq_context(i, j)) {
                    DEBUG("  eq context: %s =c= %s\n", items[i].c_str(), items[j].c_str());
                    eq_context_group[si] = sj;
                    break;
                }
            }
        }

        // Figure out the combined context size. A combined context has
        // one entry for each context-free item plus one for context0.
        size_t ccontext_size = N - N_search + 1;

        // Assert that various parameters all fit into our data types
        using ccontext_t = bitset_t;
        assert (context_to_string.size() + ccontext_size <= bitset_bits);
        assert (N_search <= solver_max_item_set);
        assert (base_length < 0xff);

        // Initial combined context.
        unordered_map <size_t, size_t> cc0_full;
        ++cc0_full[context0_index];
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            if (contextfree[i]) {
                ++cc0_full[item_context[i]];
            }
        }
        // Now pack into unary-encoded bitset. The bitset stores the
        // count for each context as <count> number of 0 bits,
        // followed by a 1 bit.
        ccontext_t cc0 = 0;
        for (size_t ci = 0, b = 0; ci < context_to_string.size(); ++ci, ++b) {
            b += cc0_full[ci];
            cc0 |= ccontext_t(1) << b;
        }

        // Map from (item set, context) to maximum achievable overlap
        Solver_table k_solns;
        // Base case: cc0 with empty set
        k_solns.update_score(0, cc0, 0);

        // Now start dynamic programming. k is current subset size
        size_t eq_context_groups = 0;
        for (size_t g: eq_context_group) eq_context_groups += (g != size_t(-1));
        if (context0.empty()) {
            INFO("solve: N=%zu, N_search=%zu, ccontext_size=%zu, #contexts=%zu, #eq_context_groups=%zu\n",
                 N, N_search, ccontext_size, context_to_string.size(), eq_context_groups);
        } else {
            DEBUG("solve: context=%s, N=%zu, N_search=%zu, ccontext_size=%zu, #contexts=%zu, #eq_context_groups=%zu\n",
                  context0.c_str(), N, N_search, ccontext_size, context_to_string.size(), eq_context_groups);
        }
        for (size_t k = 0; k < N_search; ++k) {
            decltype(k_solns) k1_solns;

            // The main bottleneck of this program is updating k1_solns,
            // which (for larger N) becomes a huge table.
            // We use a prefetch queue to reduce memory latency.
            const size_t prefetch = 8;
            array <Solver_entry, prefetch> entry_queue;
            size_t update_i = 0;

            // Iterate every k-subset
            for (Solver_entry entry: k_solns.t) {
                if (entry.is_empty()) continue;

                bitset_t s = entry.items;
                ccontext_t ccontext = entry.context;
                size_t overlap = entry.score;

                // Try adding a new item
                for (size_t si = 0; si < N_search; ++si) {
                    bitset_t s1 = s | bitset_t(1) << si;
                    if (s == s1) {
                        continue;
                    }
                    // Add items in each eq_context_group sequentially
                    if (eq_context_group[si] != size_t(-1) &&
                        !(s & bitset_t(1) << eq_context_group[si])) {
                        continue;
                    }
                    size_t i = search_items[si]; // actual item index

                    size_t new_context = item_context[i];
                    // Increment ccontext's count for new_context.
                    // We need to find its delimiter 1 bit
                    size_t bit_n = bit_select(ccontext, new_context);
                    ccontext_t ccontext_n =
                        ((ccontext & ((ccontext_t(1) << bit_n) - 1))
                         | ((ccontext >> bit_n << (bit_n + 1))));

                    // Select non-empty sub-contexts to substitute for new_context
                    for (size_t ci = 0, bit1 = 0, count;
                         ci < context_to_string.size();
                         ++ci, bit1 += count + 1)
                    {
                        assert (ccontext_n >> bit1);
                        count = __builtin_ctzll(ccontext_n >> bit1);
                        if (!count
                            // We just added new_context; we can only remove an existing
                            // context entry there i.e. there must be at least two now
                            || (ci == new_context && count < 2)) {
                            continue;
                        }

                        // Decrement ci in ccontext_n
                        bitset_t ccontext1 =
                            ((ccontext_n & ((ccontext_t(1) << bit1) - 1))
                             | ((ccontext_n >> (bit1 + 1)) << bit1));

                        size_t overlap1 = overlap + join_overlap[ci][i];

                        // do previous prefetched update
                        if (update_i >= prefetch) {
                            Solver_entry entry = entry_queue[update_i % prefetch];
                            k1_solns.update_score(entry.items, entry.context, entry.score);
                        }

                        // queue the current update and prefetch
                        Solver_entry entry1;
                        size_t probe_index = k1_solns.probe_index(Solver_table::entry_hash(s1, ccontext1));
                        __builtin_prefetch(&k1_solns.t[probe_index]);
                        entry1.items = s1;
                        entry1.context = ccontext1;
                        entry1.score = overlap1;
                        entry_queue[update_i % prefetch] = entry1;

                        ++update_i;
                    }
                }
            }

            // do remaining queued updates
            for (size_t j = 0; j < min(update_i, prefetch); ++j) {
                Solver_entry entry = entry_queue[j];
                k1_solns.update_score(entry.items, entry.context, entry.score);
            }

            if (context0.empty()) {
                INFO("  hash stats: |solns[%zu]| = %zu, %zu lookups, %zu probes\n",
                     k+1, k1_solns.size(), update_i, k1_solns.num_probes_);
            } else {
                DEBUG("  hash stats: |solns[%zu]| = %zu, %zu lookups, %zu probes\n",
                      k+1, k1_solns.size(), update_i, k1_solns.num_probes_);
            }
            k_solns.swap(k1_solns);
        }

        // Overall solution
        size_t max_overlap = 0;
        for (Solver_entry entry: k_solns.t) {
            if (entry.is_empty()) continue;
            max_overlap = max(max_overlap, size_t(entry.score));
        }
        return base_length - max_overlap;
    }
};

// Wrapper for Solver that also finds the smallest solution string
string smallest_containing_string(vector <string> items)
{
    items = dedup_items("", items);

    size_t soln_length;
    {
        Solver solver(items, "");
        soln_length = solver.solve();
    }
    DEBUG("Found solution length: %zu\n", soln_length);

    string soln;
    vector <string> remaining_items = items;
    while (remaining_items.size() > 1) {
        // Add all possible next items, in lexicographic order
        vector <pair <string, size_t>> next_solns;
        for (size_t i = 0; i < remaining_items.size(); ++i) {
            const string& item = remaining_items[i];
            next_solns.push_back(make_pair(join_strings(soln, item), i));
        }
        assert (next_solns.size() == remaining_items.size());
        sort(next_solns.begin(), next_solns.end());

        // Now try every item in order
        bool found_next = false;
        for (auto ns: next_solns) {
            size_t i;
            string next_soln;
            tie(next_soln, i) = ns;
            DEBUG("Trying: %s + %s -> %s\n",
                  soln.c_str(), remaining_items[i].c_str(), next_soln.c_str());
            vector <string> next_remaining;
            for (size_t j = 0; j < remaining_items.size(); ++j) {
                if (next_soln.find(remaining_items[j]) == string::npos) {
                    next_remaining.push_back(remaining_items[j]);
                }
            }

            Solver solver(next_remaining, next_soln);
            size_t next_size = solver.solve();
            DEBUG("  ... next_size: %zu + %zu =?= %zu\n", next_size, next_soln.size(), soln_length);
            if (next_size + next_soln.size() == soln_length) {
                INFO("  found next item: %s\n", remaining_items[i].c_str());
                soln = next_soln;
                remaining_items = next_remaining;
                // found lexicographically smallest solution, break now
                found_next = true;
                break;
            }
        }
        assert (found_next);
    }
    soln = join_strings(soln, remaining_items[0]);

    return soln;
}

int main()
{
    string prev_soln;
    vector <string> items;
    size_t p = 1;
    for (size_t N = 1;; ++N) {
        for (++p; items.size() < N; ++p) {
            if (is_prime(p)) {
                char buf[99];
                snprintf(buf, sizeof buf, "%zu", p);
                items.push_back(buf);
                break;
            }
        }

        // Try to reuse previous solution (this works for N=11,30,32...)
        string soln;
        if (prev_soln.find(items.back()) != string::npos) {
            soln = prev_soln;
        } else {
            soln = smallest_containing_string(items);
        }
        printf("%s\n", soln.c_str());
        prev_soln = soln;
    }
}

Pruébalo en línea!

Y la versión exclusiva en TIO . Lo siento, pero no jugué golf en estos programas y hay un límite de duración de la publicación.

JavaScript (Node.js) , puntúa 24 en 241 segundos

Resultados

• $a(1)$$a(21)$
• $a(22)=231129413434717353759619679$
• $a(23)=23112941343471735359619678379$
• $a(1)$$a(24)$

Algoritmo

Esta es una búsqueda recursiva que intenta todas las formas posibles de fusionar números y, finalmente, ordenar las listas resultantes en orden lexicográfico cuando se alcanza un nodo hoja.

$x$$y$$k$$x$$k$$y$$k$$y$$k$$x$

Al comienzo de cada iteración, cualquier entrada que pueda encontrarse en otra entrada se elimina de la lista.

Se logró una aceleración significativa al realizar un seguimiento de los nodos visitados, para que podamos abortar temprano cuando diferentes operaciones conducen a la misma lista.

Se logró una pequeña aceleración actualizando y restaurando la lista cuando sea posible en lugar de generar una copia, como lo sugirió un usuario anónimo Neil.

Ejemplo

$n=7$$[2,3,5,7,11,13,17]$

[]                        // start with an empty list
[ 2 ]                     // append 2
[ 2, 3 ]                  // append 3
[ 2, 3, 5 ]               // append 5
[ 2, 3, 5, 7 ]            // append 7
[ 2, 3, 5, 7, 11 ]        // append 11
[ 2, 3, 5, 7, 11, 13 ]    // append 13
[ 2, 5, 7, 11, 13 ]       // remove 3, which appears in 13
  [ 2, 5, 7, 113, 13 ]    //   try to merge 11 and 13 into 113
  [ 2, 5, 7, 113 ]        //   remove 13, which now appears in 113
  [ 2, 5, 7, 113, 17 ]    //   append 17
  [ 2, 5, 113, 17 ]       //   remove 7, which appears in 17
  --> leaf node: 1131725  //   new best result
[ 2, 5, 7, 11, 13, 17 ]   // append 17
[ 2, 5, 11, 13, 17 ]      // remove 7, which appears in 17
  [ 2, 5, 113, 13, 17 ]   //   try to merge 11 and 13 into 113
  [ 2, 5, 113, 17 ]       //   remove 13, which now appears in 113
                          //   abort because this node was already visited
                          //   (it was a leaf node anyway, so we don't save much here)
  [ 2, 5, 117, 13, 17 ]   //   try to merge 11 and 17 into 117
  [ 2, 5, 117, 13 ]       //   remove 17, which now appears in 117
  --> leaf node: 1171325  //   not better than the previous one
--> leaf node: 11131725   // not better than the previous one

Código

Pruébalo en línea!

let f = n => {
  let visited = {},
      a, d, k, best, search;

  // build the list of primes, as strings
  for(a = [ '2' ], n--, k = 3; n; k++) {
    for(d = k; k % (d -= 2);) {}
    d == 1 && n-- && a.push(k + '');
  }

  best = a.join('');

  // recursive search function
  (search = (a, n = 0, r = []) => {
    let x, y, i, j, k, s;

    // remove all entries in r[] that can be found in another entry
    r = r.filter((p, i) => !r.some((q, j) => i != j && ~q.indexOf(p)));

    // abort early if this node was already visited
    if(visited[r]) {
      return;
    }

    // otherwise, mark it as visited
    visited[r] = 1;

    // walk through all distinct pairs (x, y) in r[]
    for(i = 0; i < r.length; i++) {
      for(j = i + 1; j < r.length; j++) {
        x = r[i];
        y = r[j];

        // try to merge x and y if:
        // 1) the first k digits of x equal the last k digits of y
        for(k = 1; x.slice(0, k) == y.slice(-k); k++) {
          r[i] = y + x.slice(k);
          search(a, n, r);
        }

        // or:
        // 2) the first k digits of y equal the last k digits of x
        for(k = 1; y.slice(0, k) == x.slice(-k); k++) {
          r[i] = x + y.slice(k);
          search(a, n, r);
        }
        r[i] = x;
      }
    }

    if(x = a[n]) {
      // there are other primes to process, so go on with the next one
      search(a, n + 1, [...r, x]);
    }
    else {
      // this is a leaf node: see if we've improved our current score
      s = r.join('');

      if(s.length <= best.length) {
        s = r.sort().join('');

        if(s.length < best.length || s < best) {
          best = s;
        }
      }
    }
  })(a);

  return best;
}

Solucionador Concorde TSP , puntúa 84 en 299 segundos

Bueno ... me siento tonto por solo darme cuenta de esto ahora.

Todo esto es esencialmente un problema de vendedor ambulante . Para cada par de números primos py q, agregue un borde cuyo peso es el número de dígitos agregados por q(eliminando los dígitos superpuestos). Además, agregue un borde inicial a cada primo p, cuyo peso es la longitud de p. El camino más corto del vendedor ambulante coincide con la longitud del número de contención principal más pequeño.

Entonces, un solucionador de TSP de grado industrial, como Concorde , resolverá este problema.

Esta entrada probablemente debería considerarse no competitiva.

Resultados

El solucionador llega N=350en aproximadamente 20 horas de CPU. Los resultados completos son demasiado largos para una publicación SE, y el OEIS no quiere tantos términos de todos modos. Aquí están los primeros 200:

1 2
2 23
3 235
4 2357
5 112357
6 113257
7 1131725
8 113171925
9 1131719235
10 113171923295
11 113171923295
12 1131719237295
13 11317237294195
14 1131723294194375
15 113172329419437475
16 1131723294194347537
17 113172329419434753759
18 2311329417434753759619
19 231132941743475375961967
20 2311294134347175375961967
21 23112941343471735375961967
22 231129413434717353759619679
23 23112941343471735359619678379
24 2311294134347173535961967837989
25 23112941343471735359619678378979
26 2310112941343471735359619678378979
27 231010329411343471735359619678378979
28 101031071132329417343475359619678378979
29 101031071091132329417343475359619678378979
30 101031071091132329417343475359619678378979
31 101031071091131272329417343475359619678378979
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44 101031071091131271371391491515716316717323294179434753596181919383897
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Código

Aquí hay un script de Python 3 para llamar al solucionador Concorde una y otra vez hasta que construya las soluciones.

Concorde es gratuito para uso académico. Puede descargar un binario ejecutable de Concorde construido con su propio paquete de programación lineal QSopt, o si de alguna manera tiene una licencia para IBM CPLEX, puede construir Concorde desde la fuente para usar CPLEX.

#!/usr/bin/env python3
'''
Find prime containment numbers (OEIS A054261) using the Concorde
TSP solver.

The n-th prime containment number is the smallest natural number
which, when written in decimal, contains the first n primes.
'''

import argparse
import itertools
import os
import sys
import subprocess
import tempfile

def join_strings(a, b):
  '''Shortest string that starts with a and ends with b.'''
  for overlap in range(min(len(a), len(b)), 0, - 1):
    if a[-overlap:] == b[:overlap]:
      return a + b[overlap:]
  return a + b

def is_prime(n):
  if n < 2:
    return False
  d = 2
  while d*d <= n:
    if n % d == 0:
      return False
    d += 1
  return True

def prime_list_reduced(n):
  '''First n primes, with primes that are substrings of other
     primes removed.'''
  primes = []
  p = 2
  while len(primes) < n:
    if is_prime(p):
      primes.append(p)
    p += 1

  reduced = []
  for p in primes:
    if all(p == q or str(p) not in str(q) for q in primes):
      reduced.append(p)
  return reduced

# w_med is an offset for actual weights
# (we use zero as a dummy weight when splitting nodes)
w_med = 10**4
# w_big blocks edges from being taken
w_big = 10**8

def gen_tsplib(prefix, strs, start_candidates):
  '''Generate TSP formulation in TSPLIB format.

     Returns a TSPLIB format string that encodes the length of the
     shortest string starting with 'prefix' and containing all 'strs'.

     start_candidates is the set of strings that solution paths are
     allowed to start with.
     '''
  N = len(strs)

  # Concorde only supports symmetric TSPs. Therefore we encode the
  # asymmetric TSP instances by doubling each node.
  node_in = lambda i: 2*i
  node_out = lambda i: node_in(i) + 1
  # 2*(N+1) nodes because we add an artificial node with index N
  # for the start/end of the tour. This node is also doubled.
  num_nodes = 2*(N+1)

  # Ensure special offsets are big enough
  assert w_med > len(prefix) + sum(map(len, strs))
  assert w_big > w_med * num_nodes

  weight = [[w_big] * num_nodes for _ in range(num_nodes)]
  def edge(src, dest, w):
    weight[node_out(src)][node_in(dest)] = w
    weight[node_in(dest)][node_out(src)] = w

  # link every incoming node with the matching outgoing node
  for i in range(N+1):
    weight[node_in(i)][node_out(i)] = 0
    weight[node_out(i)][node_in(i)] = 0

  for i, p in enumerate(strs):
    if p in start_candidates:
      prefix_w = len(join_strings(prefix, p))
      # Initial length
      edge(N, i, w_med + prefix_w)
    else:
      edge(N, i, w_big)
    # Link every str to the end to allow closed tours
    edge(i, N, w_med)

  for i, p in enumerate(strs):
    for j, q in enumerate(strs):
      if i != j:
        w = len(join_strings(p, q)) - len(p)
        edge(i, j, w_med + w)

  out = '''NAME: prime-containment-number
TYPE: TSP
DIMENSION: %d
EDGE_WEIGHT_TYPE: EXPLICIT
EDGE_WEIGHT_FORMAT: FULL_MATRIX
EDGE_WEIGHT_SECTION
''' % num_nodes

  out += '\n'.join(
    ' '.join(str(w) for w in row)
    for row in weight
  ) + '\n'

  out += 'EOF\n'
  return out

def parse_tour_soln(prefix, strs, text):
  '''This constructs the solution from Concorde's 'tour' output format.
     The format simply consists of a permutation of the graph nodes.'''
  N = len(strs)
  node_in = lambda i: 2*i
  node_out = lambda i: node_in(i) + 1
  nums = list(map(int, text.split()))

  # The file starts with the number of nodes
  assert nums[0] == 2*(N+1)
  nums = nums[1:]

  # Then it should list a permutation of all nodes
  assert len(nums) == 2*(N+1)

  # Find and remove the artificial starting point
  start = nums.index(node_out(N))
  nums = nums[start+1:] + nums[:start]
  # Also find and remove the end point
  if nums[-1] == node_in(N):
    nums = nums[:-1]
  elif nums[0] == node_in(N):
    # Tour printed in reverse order
    nums = reversed(nums[1:])
  else:
    assert False, 'bad TSP tour'
  soln = prefix
  for i in nums:
    # each prime appears in two adjacent nodes, pick one arbitrarily
    if i % 2 == 0:
      soln = join_strings(soln, strs[i // 2])
  return soln

def scs_length(prefix, strs, start_candidates, concorde_path, concorde_verbose):
  '''Find length of shortest containing string using one call to Concorde.'''
  # Concorde's small-input solver CCHeldKarp, tends to fail with the
  # cryptic error message 'edge too long'. Brute force instead
  if len(strs) <= 5:
    best = len(prefix) + sum(map(len, strs))
    for perm in itertools.permutations(range(len(strs))):
      if perm and strs[perm[0]] not in start_candidates:
        continue
      soln = prefix
      for i in perm:
        soln = join_strings(soln, strs[i])
      best = min(best, len(soln))
    return best

  with tempfile.TemporaryDirectory() as tempdir:
    concorde_path = os.path.join(os.getcwd(), concorde_path)
    with open(os.path.join(tempdir, 'prime.tsplib'), 'w') as f:
      f.write(gen_tsplib(prefix, strs, start_candidates))

    if concorde_verbose:
      subprocess.check_call([concorde_path, os.path.join(tempdir, 'prime.tsplib')],
                            cwd=tempdir)
    else:
      try:
        subprocess.check_output([concorde_path, os.path.join(tempdir, 'prime.tsplib')],
                                cwd=tempdir, stderr=subprocess.STDOUT)
      except subprocess.CalledProcessError as e:
        print('Concorde exited with error code %d\nOutput log:\n%s' %
              (e.returncode, e.stdout.decode('utf-8', errors='ignore')),
              file=sys.stderr)
        raise

    with open(os.path.join(tempdir, 'prime.sol'), 'r') as f:
      soln = parse_tour_soln(prefix, strs, f.read())
    return len(soln)

# Cache results from previous N's
pcn_solve_cache = {} # (prefix fragment, strs) -> soln

def pcn(n, concorde_path, concorde_verbose):
  '''Find smallest prime containment number for first n primes.'''
  strs = list(map(str, prime_list_reduced(n)))
  target_length = scs_length('', strs, strs, concorde_path, concorde_verbose)

  def solve(prefix, strs, target_length):
    if not strs:
      return prefix

    # Extract part of prefix that is relevant to cache
    prefix_fragment = ''
    for s in strs:
      next_prefix = join_strings(prefix, s)
      overlap = len(prefix) + len(s) - len(next_prefix)
      fragment = prefix[len(prefix) - overlap:]
      if len(fragment) > len(prefix_fragment):
        prefix_fragment = fragment
    fixed_prefix = prefix[:len(prefix) - len(prefix_fragment)]
    assert fixed_prefix + prefix_fragment == prefix

    cache_key = (prefix_fragment, tuple(strs))
    if cache_key in pcn_solve_cache:
      return fixed_prefix + pcn_solve_cache[cache_key]

    # Not in cache, we need to calculate it.
    soln = None

    # Try strings in ascending order until scs_length reports a
    # solution with equal length. That string will be the
    # lexicographically smallest extension of our solution.
    next_prefixes = sorted((join_strings(prefix, s), s)
                           for s in strs)

    # Try first string -- often works
    next_prefix, _ = next_prefixes[0]
    next_prefixes = next_prefixes[1:]
    next_strs = [s for s in strs if s not in next_prefix]
    next_length = scs_length(next_prefix, next_strs, next_strs,
                             concorde_path, concorde_verbose)
    if next_length == target_length:
      soln = solve(next_prefix, next_strs, next_length)
    else:
      # If not, do a weighted binary search on remaining strings
      while len(next_prefixes) > 1:
        split = (len(next_prefixes) + 2) // 3
        group = next_prefixes[:split]
        group_length = scs_length(prefix, strs, [s for _, s in group],
                                  concorde_path, concorde_verbose)
        if group_length == target_length:
          next_prefixes = group
        else:
          next_prefixes = next_prefixes[split:]
      if next_prefixes:
        next_prefix, _ = next_prefixes[0]
        next_strs = [s for s in strs if s not in next_prefix]
        check = True
        # Uncomment if paranoid
        #next_length = scs_length(next_prefix, next_strs, next_strs,
        #                         concorde_path, concorde_verbose)
        #check = (next_length == target_length)
        if check:
          soln = solve(next_prefix, next_strs, target_length)

    assert soln is not None, (
      'solve failed! prefix=%r, strs=%r, target_length=%d' %
      (prefix, strs, target_length))

    pcn_solve_cache[cache_key] = soln[len(fixed_prefix):]
    return soln

  return solve('', strs, target_length)

parser = argparse.ArgumentParser()
parser.add_argument('--concorde', type=str, default='concorde',
                    help='path to Concorde binary')
parser.add_argument('--verbose', action='store_true',
                    help='dump all Concorde output')
parser.add_argument('--start', type=int, metavar='N', default=1,
                    help='start at this N')
parser.add_argument('--end', type=int, metavar='N', default=1000000,
                    help='stop after this N')
parser.add_argument('--one', type=int, metavar='N',
                    help='solve for a single N and exit')

def main():
  opts = parser.parse_args(sys.argv[1:])

  if opts.one is not None:
    opts.start = opts.one
    opts.end = opts.one

  prev_soln = ''
  for n in range(opts.start, opts.end+1):
    primes = map(str, prime_list_reduced(n))
    if all(p in prev_soln for p in primes):
      soln = prev_soln
    else:
      soln = pcn(n, opts.concorde, opts.verbose)

    print('%d %s' % (n, soln))
    sys.stdout.flush()
    prev_soln = soln

if __name__ == '__main__':
  main()