Reto

Dados nueve números, a, b, c, d, e, f, g, h, icomo entrada que corresponden a la matriz cuadrada:

$$\mathbf{M} = \begin{pmatrix}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{pmatrix}$$

Encuentre el inverso de la matriz, y genere sus componentes.$\mathbf{M}^{-1}$

Matriz inversa

El inverso de una matriz 3 por 3 obedece a la siguiente ecuación:

$$\mathbf{MM}^{-1} = \mathbf{M}^{-1}\mathbf{M} = \mathbf{I} = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

Y se puede calcular como:

$$\mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{M})}\mathbf{C}^T$$

Donde es la matriz de cofactores:$\mathbf{C}$

$$\mathbf{C}=\begin{pmatrix}ei-fh&fg-di&dh-eg\\ch-bi&ai-cg&bg-ah\\bf-ce&cd-af&ae-bd\end{pmatrix}$$

Y es la transposición de C :$\mathbf{C}^T$$\mathbf{C}$

$$\mathbf{C}^T = \begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}$$

Y es el determinante de M :$\det(\mathbf{M})$$\mathbf{M}$

$$\det(\mathbf{M}) = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$$

Ejemplo trabajado

Por ejemplo, digamos que la entrada es 0, -3, -2, 1, -4, -2, -3, 4, 1. Esto corresponde a la matriz:

$$\mathbf{M} = \begin{pmatrix}0&-3&-2\\1&-4&-2\\-3&4&1\end{pmatrix}$$

En primer lugar, calculemos lo que se conoce como determinante utilizando la fórmula anterior:

$$\det(\mathbf{M}) = 0(-4\times1-(-2)\times4) - (-3)(1\times1-(-2)\times-3) + (-2)(1\times4-(-4)\times-3) = 1$$

A continuación, calculemos la matriz de cofactores:

$$\mathbf{C} = \begin{pmatrix}-4\times1-(-2)\times4& -(1\times1-(-2)\times-3)&1\times4-(-4)\times-3\\-(-3\times1-(-2)\times4)&0\times1-(-2)\times-3&-(0\times4-(-3)\times-3)\\-3\times-2-(-2)\times-4&-(0\times-2-(-2)\times1)&0\times-4-(-3)\times1\end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}4&5&-8\\-5&-6&9\\-2&-2&3\end{pmatrix}$$

Entonces necesitamos transponer $\mathbf{C}$ (voltear las filas y columnas) para obtener :$\mathbf{C}^T$

$$\mathbf{C}^T = \begin{pmatrix}4&-5&2\\5&-6&-2\\-8&9&3\end{pmatrix}$$

Finalmente, podemos encontrar el inverso como:

$$\mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{M})}\mathbf{C}^T = \frac{1}{1}\begin{pmatrix}4&-5&2\\5&-6&-2\\-8&9&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-5&2\\5&-6&-2\\-8&9&3\end{pmatrix}$$

Entonces la salida sería 4, -5, -2, 5, -6, -2, -8, 9, 3.

Reglas

• La matriz dada siempre tendrá un inverso (es decir, no singular). La matriz puede ser autoinversa

• La matriz dada siempre será una matriz de 3 por 3 con 9 enteros.

• Los números en la entrada siempre serán enteros en el rango $-1000 \leq n \leq 1000$

• Los componentes no enteros de la matriz se pueden dar como un decimal o una fracción

Ejemplos

Input > Output
1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1 > 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1
0, -3, -2, 1, -4, -2, -3, 4, 1 > 4, -5, -2, 5, -6, -2, -8, 9, 3
1, 2, 3, 3, 1, 2, 2, 1, 3 > -1/6, 1/2, -1/6, 5/6, 1/2, -7/6, -1/6, -1/2, 5/6
7, 9, 4, 2, 7, 9, 3, 4, 5 > -1/94, -29/94, 53/94, 17/94, 23/94, -55/94, -13/94, -1/94, 31/94

Victorioso

El código más corto en bytes gana.

MATL , 54 bytes

th3LZ)t,3:q&XdpswP]w-lw/GtY*tXdsGXdsUw-IXy*2/+GtXds*-*

Pruébalo en línea!

Solo para mantenerlo interesante, no utiliza la división de matriz incorporada o las funciones determinantes para hacerlo.

En cambio, calcula el determinante usando la Regla de Sarrus .

Y el adyuvante (matriz de cofactor transpuesta) usando la fórmula Cayley-Hamilton .

$${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)\mathbf {I} _{3}-\mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} +\mathbf {A} ^{2}.}$$

Código comentado:

% Finding determinant
th    % concatenate the matrix to itself sideways
3LZ)  % chop off the last column (since the Rule of Sarrus doesn't need it)
t     % duplicate this matrix (say S)
,     % do this twice:
  3:q&Xd  % get the first three diagonals of S
  ps      % multiply each diagonal's values and add the results
  wP      % switch and flip the matrix (to get the popposing diagonals next time)
]w    % close loop, switch to have correct order of sums
-     % subtract - we now have the determinant
lw/   % invert that

% Finding adjugate using Cayley–Hamilton formula
GtY*  % A^2 term (last term of the formula)
tXds  % trace(A^2) for term 1 of formula
GXdsU % (trace(A))^2 for term1 of formula
w-    % (trace(A))^2 - trace(A^2)
IXy*  % multiply that by the identity matrix
2/    % divide that by 2 - term 1 complete
+
GtXds* % A*trA for term 2 of formula
-      % subtract to get adj(A)

*      % multiply by the inverse of determinant we found earlier
       % implicit output

Podríamos volvernos aún más locos al reemplazar la multiplicación matricial GtY*realizada por$A^2$, con algo como 3:"Gt!@qYS*!s] 3$v t&v 3:K-&Xd( Pruébalo en MATL Online ).

La forma más directa y obvia:

4 bytes

-1Y^

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(-1 byte gracias a @Luis Mendo.)

-1 - Empuje el literal -1

Y^ - Elevar la entrada a esa potencia (entrada implícita, salida implícita)

APL (Dyalog Classic), 1 byte

⌹

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si se requiere una lis plana, esto es 8 bytes

,∘⌹3 3∘⍴

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R, 51 35 27 8 5 bytes

solve

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Primero ve a hacer uno de estos desafíos de golf. Lo siento si mi formato es incorrecto!

¡Ahorré un total de 11 bytes adicionales gracias a Giuseppe! ¡Ahorró 19 bytes adicionales gracias a JAD!

Jalea , 3 bytes

æ*-

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Suponiendo que podamos tomar datos y proporcionar una lista 2D de enteros. Si realmente se requiere una lista plana de enteros tanto para entrada como para salida, entonces esto funciona para 6 bytes.

JavaScript (ES6), 123 bytes

Guardado 2 bytes gracias a @ Mr.Xcoder
Guardado 1 byte gracias a @ETHproductions

Toma la entrada como 9 valores distintos.

(a,b,c,d,e,f,g,h,i)=>[x=e*i-h*f,c*h-b*i,b*f-c*e,y=f*g-d*i,a*i-c*g,d*c-a*f,z=d*h-g*e,g*b-a*h,a*e-d*b].map(v=>v/=a*x+b*y+c*z)

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J , 2 bytes

%.

Solo una primitiva incorporada

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Python 2 , 139 bytes

def F(a,b,c,d,e,f,g,h,i):x=e*i-f*h;y=f*g-d*i;z=d*h-e*g;print[j/(a*x+b*y+c*z)for j in x,c*h-b*i,b*f-c*e,y,a*i-c*g,c*d-a*f,z,b*g-a*h,a*e-b*d]

Pruébalo en línea! (Tiene en returnlugar de printfacilitar la prueba).

Limpio , 143 bytes

import StdEnv
$a b c d e f g h i#p=e*i-h*f
#q=f*g-d*i
#r=d*h-g*e
=[v/(a*p+b*q+c*r)\\v<-[p,c*h-b*i,b*f-c*e,q,a*i-c*g,d*c-a*f,r,g*b-a*h,a*e-d*b]]

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Python 3, 77 bytes

import numpy
lambda l:(numpy.matrix(l).reshape(-1,3)**-1).ravel().tolist()[0]

Toma la entrada como una lista plana.

Son 63 bytes si la entrada se toma como una matriz 2D:

import numpy
lambda l:(numpy.matrix(l)**-1).ravel().tolist()[0]

Perl, 226 + 4 ( -plF,bandera) = 230 bytes

$_=join', ',map$_/($a*$x+$b*$y+$c*$z),$x=($e=$F[4])*($i=$F[8])-($f=$F[5])*($h=$F[7]),($c=$F[2])*$h-($b=$F[1])*$i,$b*$f-$c*$e,$y=$f*($g=$F[6])-($d=$F[3])*$i,($a=$F[0])*$i-$c*$g,$c*$d-$a*$f,$z=$d*$h-$e*$g,$b*$g-$a*$h,$a*$e-$b*$d

Pruébalo en línea .

Perl 5, 179 bytes

sub{($a,$b,$c,$d,$e,$f,$g,$h,$i)=@_;map$_/($a*$x+$b*$y+$c*$z),$x=$e*$i-$f*$h,$c*$h-$b*$i,$b*$f-$c*$e,$y=$f*$g-$d*$i,$a*$i-$c*$g,$c*$d-$a*$f,$z=$d*$h-$e*$g,$b*$g-$a*$h,$a*$e-$b*$d}

Pruébalo en línea .

Noether, 168 bytes

I~aI~bI~cI~dI~eI~fI~gI~hI~iei*fh*-a*di*fg*-b*-dh*eg*-c*+~zei*fh*-z/P","~nPch*bi*-z/PnPbf*ce*-z/PnPfg*di*-z/PnPai*cg*-z/PnPcd*af*-z/PnPdh*eg*-z/PnPbg*ah*-z/PnPae*bd*-z/P

Pruébalo en línea

Hojas de cálculo de Google , 16 bytes

=MINVERSE(A1:C3)

La entrada está en el rango A1:C3

^{Los empotrados son aburridos}

Pari / GP , 6 bytes

m->1/m

Toma inversa multiplicativa en el anillo de la matriz $\mathrm{M}_n$.

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Clojure, 165 bytes

(fn[a b c d e f g h i](let[M map C(M -(M *[e f d c a b b c a][i g h h i g f d e])(M *[f d e b c a c a b][h i g i g h e f d]))](for[i C](/ i(apply +(M *[a b c]C))))))

Lamento que esto transmita C en transposición, y me siento perezoso para rehacer esas secuencias de caracteres largas para solucionarlo en este momento.

APL (Dyalog), 7 bytes

,⌹3 3⍴⎕

Toma la entrada como una lista plana y las salidas como una lista plana

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