Introducción

Este desafío es similar a los problemas del Proyecto Euler . Se me ocurrió porque estaba jugando un juego de tablero engañosamente simple y no pude encontrar una solución eficiente para responder una pregunta simple sobre su mecánica.

Quarto es una variante divertida de 4 seguidas. Se juega en un tablero de 4 por 4 con 16 piezas únicas (no se duplican piezas). Cada turno cada jugador coloca 1 pieza en el tablero. Cada pieza tiene 4 características binarias (corta / alta, negra / blanca, cuadrada / circular, hueca / sólida). ¡El objetivo es hacer cuatro en una fila, ya sea horizontal, vertical o a lo largo de las 2 diagonales, para cualquiera de las cuatro características! Entonces 4 piezas negras, 4 piezas blancas, 4 piezas altas, 4 piezas cortas, 4 piezas cuadradas, 4 piezas circulares, 4 piezas huecas o 4 piezas sólidas.

La imagen de arriba muestra un juego terminado, hay cuatro en fila debido a 4 piezas cuadradas.

Desafío

En Quarto, algunos juegos pueden terminar en empate.

El número total de posibles posiciones finales es de 16!aproximadamente 20 billones.

¿Cuántas de esas posiciones finales son empates?

Reglas

1. La solución debe ser un programa que calcule y genere el número total de posiciones finales que son sorteos. La respuesta correcta es414298141056

2. Solo puede usar información de las reglas del juego que se han deducido manualmente (sin prueba asistida por computadora).

3. Las simplificaciones matemáticas del problema están permitidas, pero deben explicarse y probarse (manualmente) en su solución.

4. El ganador es el que tiene la solución más óptima en términos de tiempo de ejecución de la CPU.

5. Para determinar el ganador, ejecutaré todas las soluciones con un tiempo de ejecución de menos de 30 m en un MacBook Pro 2.5 GHz Intel Core i7 con 16 GB de RAM .

6. No hay puntos de bonificación por encontrar una solución que también funcione con otros tamaños de tablero. Aunque eso sería bueno.

7. Si corresponde, su programa debe compilarse dentro de 1 minuto en el hardware mencionado anteriormente (para evitar el abuso de la optimización del compilador)

8. Las lagunas predeterminadas no están permitidas

Envíos

Por favor publique:

1. El código o un enlace github / bitbucket al código.
2. La salida del código.
3. Su tiempo de ejecución medido localmente
4. Una explicación de tu enfoque.

Fecha límite

La fecha límite para las presentaciones es el 1 de marzo, así que aún queda mucho tiempo.

C: 414298141056 sorteos encontrados en aproximadamente 5 2.5 minutos.

Solo una simple búsqueda de profundidad con una tabla de transposición consciente de la simetría. Utilizamos la simetría de los atributos bajo permutación y la simetría diédrica de 8 pliegues del tablero.

#include <stdint.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#include <string.h>

typedef uint16_t u8;
typedef uint16_t u16;
typedef uint64_t u64;

#define P(i, j) (1 << (4 * (i) + (j)))

#define DIAG0 (P(0, 0) | P(1, 1) | P(2, 2) | P(3, 3))
#define DIAG1 (P(3, 0) | P(2, 1) | P(1, 2) | P(0, 3))

u64 rand_state;

u64 mix(u64 x) {
    u64 a = x >> 32;
    u64 b = x >> 60;
    x ^= (a >> b);
    return x * 7993060983890856527ULL;
}

u64 rand_u64() {
    u64 x = rand_state;
    rand_state = x * 6364136223846793005ULL + 1442695040888963407ULL;
    return mix(x);
}

u64 ZOBRIST_TABLE[(1 << 16)][8];

u16 transpose(u16 x) {
    u16 t = 0;
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        for (int j = 0; j < 4; j++) {
            if (x & P(j, i)) {
                t |= P(i, j);
            }
        }
    }
    return t;
}

u16 rotate(u16 x) {
   u16 r = 0;
   for (int i = 0; i < 4; i++) {
       for (int j = 0; j < 4; j++) {
           if (x & P(3 - j, i)) {
                r |= P(i, j);
            }
       }
   } 
   return r;
}

void initialize_zobrist_table(void) {
    for (int i = 0; i < 1 << 16; i++) {
        ZOBRIST_TABLE[i][0] = rand_u64();
    }
    for (int i = 0; i < 1 << 16; i++) {
        int j = i;
        for (int r = 1; r < 8; r++) {
            j = rotate(j);
            if (r == 4) {
                j = transpose(i);
            }
            ZOBRIST_TABLE[i][r] = ZOBRIST_TABLE[j][0];
        }
    }
}

u64 hash_board(u16* x) {
    u64 hash = 0;
    for (int r = 0; r < 8; r++) {
        u64 h = 0;
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            h += ZOBRIST_TABLE[x[i]][r];
        }
        hash ^= mix(h);
    }
    return mix(hash);
}

u8 IS_WON[(1 << 16) / 8];

void initialize_is_won(void) {
    for (int x = 0; x < 1 << 16; x++) {
        bool is_won = false;
        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            u16 stride = 0xF << (4 * i);
            if ((x & stride) == stride) {
                is_won = true;
                break;
            }
            stride = 0x1111 << i;
            if ((x & stride) == stride) {
                is_won = true;
                break;
            }
        }
        if (is_won == false) {
            if (((x & DIAG0) == DIAG0) || ((x & DIAG1) == DIAG1)) {
                is_won = true;
            }
        }
        if (is_won) {
            IS_WON[x / 8] |= (1 << (x % 8));
        }
    }
}

bool is_won(u16 x) {
    return (IS_WON[x / 8] >> (x % 8)) & 1;
}

bool make_move(u16* board, u8 piece, u8 position) {
    u16 p = 1 << position;
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        bool a = (piece >> i) & 1;
        int j = 2 * i + a;
        u16 x = board[j] | p;
        if (is_won(x)) {
            return false;
        }
        board[j] = x;
    }
    return true;
}

typedef struct {
    u64 hash;
    u64 count;
} Entry;

typedef struct {
    u64 mask;
    Entry* entries;
} TTable;

Entry* lookup(TTable* table, u64 hash, u64 count) {
    Entry* to_replace;
    u64 min_count = count + 1;
    for (int d = 0; d < 8; d++) {
        u64 i = (hash + d) & table->mask;
        Entry* entry = &table->entries[i];
        if (entry->hash == 0 || entry->hash == hash) {
            return entry;
        }
        if (entry->count < min_count) {
            min_count = entry->count;
            to_replace = entry;
        }
    }
    if (to_replace) {
        to_replace->hash = 0;
        to_replace->count = 0;
        return to_replace;
    }
    return NULL;
}

u64 count_solutions(TTable* ttable, u16* board, u8* pieces, u8 position) {
    u64 hash = 0;
    if (position <= 10) {
        hash = hash_board(board);
        Entry* entry = lookup(ttable, hash, 0);
        if (entry && entry->hash) {
            return entry->count;        
        }
    }
    u64 n = 0;
    for (int i = position; i < 16; i++) {
        u8 piece = pieces[i];
        u16 board1[8];
        memcpy(board1, board, sizeof(board1));
        u8 variable_ordering[16] = {0, 1, 2, 3, 4, 8, 12, 6, 9, 5, 7, 13, 10, 11, 15, 14};
        if (!make_move(board1, piece, variable_ordering[position])) {
            continue;
        }
        if (position == 15) {
            n += 1;
        } else {
            pieces[i] = pieces[position];
            n += count_solutions(ttable, board1, pieces, position + 1); 
            pieces[i] = piece;
        }
    }
    if (hash) {
        Entry* entry = lookup(ttable, hash, n);
        if (entry) {
            entry->hash = hash;
            entry->count = n;
        }
    }
    return n;
}

int main(void) {
    TTable ttable;
    int ttable_size = 1 << 28;
    ttable.mask = ttable_size - 1;
    ttable.entries = calloc(ttable_size, sizeof(Entry));
    initialize_zobrist_table();
    initialize_is_won();
    u8 pieces[16];
    for (int i = 0; i < 16; i++) {pieces[i] = i;}
    u16 board[8] = {0};
    printf("count: %lu\n", count_solutions(&ttable, board, pieces, 0));
}

Puntuación medida (@wvdz):

$ clang -O3 -march=native quarto_user1502040.c
$ time ./a.out
count: 414298141056

real    1m37.299s
user    1m32.797s
sys     0m2.930s

Puntuación (usuario + sys): 1m35.727s

Java, 414298141056 sorteos, 23m42.272s

Espero que no esté mal visto publicar una solución al propio desafío, pero la razón por la que publiqué este desafío en primer lugar fue que me volvía loco que no pudiera encontrar una solución eficiente yo mismo. Mi mejor intento tomaría días en completarse.

Después de estudiar la respuesta del usuario 1502040 , logré modificar mi código para que se ejecutara en un tiempo razonable. Mi solución sigue siendo significativamente diferente, pero robé algunas ideas:

• En lugar de centrarme en las posiciones finales, me concentro en jugar el juego, poniendo una pieza tras otra en el tablero. Esto me permite construir una tabla de posiciones semánticamente idénticas con el recuento correcto.
• Darse cuenta del orden en que se colocan las piezas es importante: deben colocarse de tal manera que maximice las posibilidades de una ganancia temprana.

La principal diferencia entre esta solución y la del usuario 1502040 es que no uso una tabla Zobrist, sino una representación canónica de una placa, donde considero que cada placa tiene 48 posibles transposiciones sobre las características (2 * 4). No giro ni transpongo todo el tablero, sino solo las características de las piezas.

Esto es lo mejor que se me ocurrió. ¡Las ideas para optimizaciones obvias o menos obvias son bienvenidas!

public class Q {

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(countDraws(getStartBoard(), 0));
    }

    /** Order of squares being filled, chosen to maximize the chance of an early win */
    private static int[] indexShuffle = {0, 5, 10, 15, 14, 13, 12, 9, 1, 6, 3, 2, 7, 11, 4, 8};

    /** Highest depth for using the lookup */
    private static final int MAX_LOOKUP_INDEX = 10;

    public static long countDraws(long board, int turn) {
        long signature = 0;
        if (turn < MAX_LOOKUP_INDEX) {
            signature = getSignature(board, turn);
            if (cache.get(turn).containsKey(signature))
                return cache.get(turn).get(signature);
        }
        int indexShuffled = indexShuffle[turn];
        long count = 0;
        for (int n = turn; n < 16; n++) {
            long newBoard = swap(board, indexShuffled, indexShuffle[n]);
            if (partialEvaluate(newBoard, indexShuffled))
                continue;
            if (turn == 15)
                count++;
            else
                count += countDraws(newBoard, turn + 1);
        }
        if (turn < MAX_LOOKUP_INDEX)
            cache.get(turn).put(signature, count);
        return count;
    }

    /** Get the canonical representation for this board and turn */
    private static long getSignature(long board, int turn) {
        int firstPiece = getPiece(board, indexShuffle[0]);
        long signature = minTranspositionValues[firstPiece];
        List<Integer> ts = minTranspositions.get(firstPiece);
        for (int n = 1; n < turn; n++) {
            int min = 16;
            List<Integer> ts2 = new ArrayList<>();
            for (int t : ts) {
                int piece = getPiece(board, indexShuffle[n]);
                int posId = transpositions[piece][t];
                if (posId == min) {
                    ts2.add(t);
                } else if (posId < min) {
                    min = posId;
                    ts2.clear();
                    ts2.add(t);
                }
            }
            ts = ts2;
            signature = signature << 4 | min;
        }
        return signature;
    }

    private static int getPiece(long board, int position) {
        return (int) (board >>> (position << 2)) & 0xf;
    }

    /** Only evaluate the relevant winning possibilities for a certain turn */
    private static boolean partialEvaluate(long board, int turn) {
        switch (turn) {
            case 15:
                return evaluate(board, masks[8]);
            case 12:
                return evaluate(board, masks[3]);
            case 1:
                return evaluate(board, masks[5]);
            case 3:
                return evaluate(board, masks[9]);
            case 2:
                return evaluate(board, masks[0]) || evaluate(board, masks[6]);
            case 11:
                return evaluate(board, masks[7]);
            case 4:
                return evaluate(board, masks[1]);
            case 8:
                return evaluate(board, masks[4]) || evaluate(board, masks[2]);
        }
        return false;
    }

    private static List<Map<Long, Long>> cache = new ArrayList<>();
    static {
        for (int i = 0; i < 16; i++)
            cache.add(new HashMap<>());
    }

    private static boolean evaluate(long board, long[] masks) {
        return _evaluate(board, masks) || _evaluate(~board, masks);
    }

    private static boolean _evaluate(long board, long[] masks) {
        for (long mask : masks)
            if ((board & mask) == mask)
                return true;
        return false;
    }

    private static long swap(long board, int x, int y) {
        if (x == y)
            return board;
        if (x > y)
            return swap(board, y, x);
        long xValue = (board & swapMasks[1][x]) << ((y - x) * 4);
        long yValue = (board & swapMasks[1][y]) >>> ((y - x) * 4);
        return board & swapMasks[0][x] & swapMasks[0][y] | xValue | yValue;
    }

    private static long getStartBoard() {
        long board = 0;
        for (long n = 0; n < 16; n++)
            board |= n << (n * 4);
        return board;
    }

    private static List<Integer> allPermutations(int input, int size, int idx, List<Integer> permutations) {
        for (int n = idx; n < size; n++) {
            if (idx == 3)
                permutations.add(input);
            allPermutations(swapBit(input, idx, n), size, idx + 1, permutations);
        }
        return permutations;
    }

    private static int swapBit(int in, int x, int y) {
        if (x == y)
            return in;
        int xMask = 1 << x;
        int yMask = 1 << y;
        int xValue = (in & xMask) << (y - x);
        int yValue = (in & yMask) >>> (y - x);
        return in & ~xMask & ~yMask | xValue | yValue;
    }

    private static int[][] transpositions = new int[16][48];
    static {
        for (int piece = 0; piece < 16; piece++) {
            transpositions[piece][0] = piece;
            List<Integer> permutations = allPermutations(piece, 4, 0, new ArrayList<>());
            for (int n = 1; n < 24; n++)
                transpositions[piece][n] = permutations.get(n);
            permutations = allPermutations(~piece & 0xf, 4, 0, new ArrayList<>());
            for (int n = 24; n < 48; n++)
                transpositions[piece][n] = permutations.get(n - 24);
        }
    }

    private static int[] minTranspositionValues = new int[16];
    private static List<List<Integer>> minTranspositions = new ArrayList<>();
    static {
        for (int n = 0; n < 16; n++) {
            int min = 16;
            List<Integer> elems = new ArrayList<>();
            for (int t = 0; t < 48; t++) {
                int elem = transpositions[n][t];
                if (elem < min) {
                    min = elem;
                    elems.clear();
                    elems.add(t);
                } else if (elem == min)
                    elems.add(t);
            }
            minTranspositionValues[n] = min;
            minTranspositions.add(elems);
        }
    }

    private static final long ROW_MASK = 1L | 1L << 4 | 1L << 8 | 1L << 12;
    private static final long COL_MASK = 1L | 1L << 16 | 1L << 32 | 1L << 48;
    private static final long FIRST_DIAG_MASK = 1L | 1L << 20 | 1L << 40 | 1L << 60;
    private static final long SECOND_DIAG_MASK = 1L << 12 | 1L << 24 | 1L << 36 | 1L << 48;

    private static long[][] masks = new long[10][4];
    static {
        for (int m = 0; m < 4; m++) {
            long row = ROW_MASK << (16 * m);
            for (int n = 0; n < 4; n++)
                masks[m][n] = row << n;
        }
        for (int m = 0; m < 4; m++) {
            long row = COL_MASK << (4 * m);
            for (int n = 0; n < 4; n++)
                masks[m + 4][n] = row << n;
        }
        for (int n = 0; n < 4; n++)
            masks[8][n] = FIRST_DIAG_MASK << n;
        for (int n = 0; n < 4; n++)
            masks[9][n] = SECOND_DIAG_MASK << n;
    }

    private static long[][] swapMasks;
    static {
        swapMasks = new long[2][16];
        for (int n = 0; n < 16; n++)
            swapMasks[1][n] = 0xfL << (n * 4);
        for (int n = 0; n < 16; n++)
            swapMasks[0][n] = ~swapMasks[1][n];
    }
}

Puntuación medida:

$ time java -jar quarto.jar 
414298141056

real    20m51.492s
user    23m32.289s
sys     0m9.983s

Puntuación (usuario + sys): 23m42.272s