En este desafío, le pediré que encuentre una descomposición QR de una matriz cuadrada. La descomposición QR de la matriz A es dos Matrices Q y R, de modo que A = QR . En particular, buscamos que Q sea ​​una matriz ortogonal (es decir, Q ^T Q = QQ ^T = I donde I es la identidad multiplicativa y ^T es la transposición) y R sea ​​una matriz triangular superior (cada valor debajo de su diagonal debe ser cero)

Escribirás código que tome una matriz cuadrada por cualquier método razonable y genere una descomposición QR por cualquier método. Muchas matrices tienen múltiples descomposiciones QR, sin embargo, solo necesita una salida.

Los elementos de sus matrices resultantes deben estar dentro de dos lugares decimales de una respuesta real para cada entrada en la matriz.

Esta es una competencia de código de golf , por lo que las respuestas se puntuarán en bytes, siendo menos bytes una mejor puntuación.

Casos de prueba

Estas son solo salidas posibles, sus salidas no necesitan coincidir con todas ellas siempre que sean válidas.

0 0 0     1 0 0   0 0 0
0 0 0 ->  0 1 0   0 0 0
0 0 0     0 0 1 , 0 0 0

1 0 0     1 0 0   1 0 0
0 1 0 ->  0 1 0   0 1 0
0 0 1     0 0 1 , 0 0 1

1 2 3     1 0 0   1 2 3
0 3 1 ->  0 1 0   0 3 1
0 0 8     0 0 1 , 0 0 8

0 0 1     0 0 1   1 1 1
0 1 0 ->  0 1 0   0 1 0
1 1 1     1 0 0 , 0 0 1

0 0 0 0 1     0 0 0 0 1   1 0 0 0 1
0 0 0 1 0     0 0 0 1 0   0 1 1 1 0
0 0 1 0 0 ->  0 0 1 0 0   0 0 1 0 0
0 1 1 1 0     0 1 0 0 0   0 0 0 1 0
1 0 0 0 1     1 0 0 0 0 , 0 0 0 0 1

Julia, 2 bytes

qr

La función qracepta una matriz cuadrada y devuelve una Tuplede matrices: Q y R .

Pruébalo en línea!

Octava , 19 bytes

@(x)[[q,r]=qr(x),r]

Pruébalo en línea!

Mi primera respuesta de Octave \ o /

Octave qrtiene bastantes alternativas en otros idiomas que devuelven Q y R : QRDecomposition(Mathematica), matqr(PARI / GP), 128!:0- si recuerdo correctamente - (J), qr(R) ...

Wolfram Language (Mathematica) , 15 bytes

QRDecomposition

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Quiero decir ... ¿qué puedo decir?

R , 38 37 bytes

pryr::f(list(qr.R(q<-qr(m)),qr.Q(q)))

Pruébalo en línea!

SageMath , 27 bytes

lambda x:matrix(RDF,x).QR()

Python 2, 329 324 bytes

import fractions
I=lambda v,w:sum(a*b for a,b in zip(v,w))
def f(A):
 A,U=[map(fractions.Fraction,x)for x in zip(*A)],[]
 for a in A:
    u=a
    for v in U:u=[x-y*I(v,a)/I(v,v)for x,y in zip(u,v)]
    U.append(u)
 Q=[[a/I(u,u)**.5 for a in u]for u in U];return zip(*Q),[[I(e,a)*(i>=j)for i,a in enumerate(A)]for j,e in enumerate(Q)]

Debemos usar fracciones para garantizar una salida correcta, consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Gram%E2%80%93Schmidt_process#Numerical_stability

Sangría utilizada:

1. 1 espacio
2. 1 pestaña

Python con numpy, 28 bytes

import numpy
numpy.linalg.qr