Los polinomios de Chebyshev son una familia de polinomios ortogonales que aparecen en todo tipo de lugares en matemáticas, y tienen muchas propiedades bastante interesantes. Una caracterización de ellos es que son los polinomios únicos que satisfacen .T_n(cos(x)) = cos(n*x)

Reto

Dado un número entero no negativo n, debe generar el nenésimo polinomio de Chebyshev. .T_n(x)

Definición

El nsexto polinomio de Chebyshev se da siguiendo la recursión de tres términos:

T₀(x) = 1
T₁(x) = x
T_n+1(x) = 2*x*T_n(x) - T_n-1(x)

Detalles

Si su idioma tiene un tipo de polinomio nativo, puede usarlo como salida, de lo contrario, debería generar una lista de coeficientes en orden ascendente o descendente, o como una cadena que representa un polinomio.

Ejemplos

T₀(x) = 1
T₁(x) = x 
T₂(x) = 2x^2 - 1
T₃(x) = 4x^3 - 3 x
T₄(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1
T₅(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x
T₁₀(x) = 512x^10 - 1280x^8 + 1120x^6 - 400x^4 + 50x^2 - 1

En el formato de lista de grados descendente obtendríamos y en el formato de grados ascendentes obtendríamosT₃(x) = [4,0,-3,0]T₃(x) = [0,-3,0,4]

— falla
fuente

Si envío una lista, ¿puedo enviar 0 1(es decir 0*x+1) para T_0?

— Luis Mendo

Mientras el orden de los monomios sea consistente, ¡está bien!

— flawr

@flawr está 2*x*(2*x**2 - 1) - xbien como salida para 3 para lang de soporte de polinom, ¿o necesitamos la representación como coeffs desc?

— Uriel

11

Meta discusión sobre el tema de los títulos en inglés

— Mego

2

¿Son aceptables las imprecisiones de coma flotante? es decirT_5(n) = [0, 5, 3.55271e-15, -20, 0, 16]

— millas

15

Mathematica, 15 bytes

#~ChebyshevT~x&

Por supuesto, Mathematica tiene un incorporado.

Si se permite un formulario de entrada alternativo (10 bytes):

ChebyshevT

toma un entero ny una variable.

— JungHwan Min
fuente

3

No podría haberlo adivinado, eh. : P

— HyperNeutrino

14

Octava , 39 bytes

@(n)round(2^n/2*poly(cos((.5:n)/n*pi)))

Pruébalo en línea!

Explicación

cos((.5:n)/n*pi)construye un vector con las raíces del polinomio , dado por

polyda el polinomio monico con esas raices. Multiplicar por 2^n/2escalas los coeficientes según sea necesario. roundse asegura de que los resultados sean enteros a pesar de la precisión numérica.

— Luis Mendo
fuente

1

Inteligente como siempre :)

— flawr

11

Pari / GP , 12 bytes

Sí, un incorporado. Más corto que Mathematica.

polchebyshev

Pruébalo en línea!

Sin incorporado:

Pari / GP , 34 bytes

f(n)=if(n<2,x^n,2*x*f(n-1)-f(n-2))

Pruébalo en línea!

— alephalpha
fuente

¿ polchebyshevSolo toma una entrada y devuelve el polinomio?

— JungHwan Min

@JungHwanMin Sí. xes el predeterminado indeterminado.

— alephalpha

10

Haskell , 62 bytes

t n|n<2=1:[0|n>0]|x<-(*2)<$>t(n-1)++[0]=zipWith(-)x$0:0:t(n-2)

Pruébalo en línea!

flawr guardó un byte.

— Lynn
fuente

¡Esto es muy elegante! (Me sigo olvidando zipWithde las operaciones de vectores.)

— error

1

Creo que se puede incluso ahorrar un byte más mediante el uso de guardias: t n|n<2=1:[0|n>0]|x<-(*2)<$>t(n-1)++[0]=zipWith(-)x$0:t(n-2), de esa manera se puede quitar el par medio de paréntesis en la última línea :)

— flawr

Creo que tiene que cambiar 0:a 0:0:- OP simplemente rechazó este tipo de omisión de los ceros.

— Ørjan Johansen

7

CJam (21 bytes)

1a2,qi{0X$+2f*@.-}*;`

Este es un programa completo: el equivalente a un bloque anónimo es la misma longitud:

{1a2,@{0X$+2f*@.-}*;}

Demostración en línea

— Peter Taylor
fuente

6

Python + SymPy , 66 bytes

from sympy.abc import*
T=lambda n:n<2and x**n or 2*x*T(n-1)-T(n-2)

Pruébalo en línea!

Con representación de coeficientes descendentes

from sympy import*
x=symbols('x')
T=lambda n:n<2and x**n or expand(2*x*T(n-1)-T(n-2))

Pruébalo en línea!

— Uriel
fuente

[1,x][n]->x**n

— alephalpha

5

SageMath, 25 bytes

lambda n:chebyshev_T(n,x)

Pruébalo en línea

— Mego
fuente

5

MATL , 17 bytes

lFTi:"0yhEbFFh-]x

Los coeficientes se producen en orden creciente de grado.

Pruébalo en línea! O verificar todos los casos de prueba .

Explicación

Para la entrada n , el código aplica la relación recursiva n veces. Los dos polinomios más recientes siempre se mantienen en la pila. Cuando se calcula un nuevo polinomio, se elimina el más antiguo.

Al final, se muestra el penúltimo polinomio (se elimina el último polinomio), ya que hemos hecho demasiadas iteraciones.

l        % Push 1
FT       % Push [0 1]. These are the first two polynomials
i:"      % Input n. Do the following n times
  0      %   Push 0
  y      %   Duplicate most recent polynomial
  h      %   Concatenate: prepends 0 to that polynomial
  E      %   Multiply coefficients by 2
  b      %   Bubble up. This moves second-most recent polynomial to top
  FF     %   Push [0 0]
  h      %   Concatenate: appends [0 0] to that polynomial
  -      %   Subtract coefficients
]        % End
x        % Delete. Implicitly display

— Luis Mendo
fuente

4

Jalea , 18 bytes

Cr1µ’ßḤ0;_’’$ß$µỊ?

Pruébalo en línea!

Devuelve una lista de coeficientes en orden ascendente.

Hay otra solución para 17 bytes con imprecisiones de punto flotante.

RḤ’÷Ḥ-*ḞÆṛæ«’µ1Ṡ?

Pruébalo en línea!

Explicación

Cr1µ’ßḤ0;_’’$ß$µỊ?  Input: integer n
                Ị   Insignificant - abs(n) <= 1
                    If true, n = 0 or n = 1
   µ                  Monadic chain
C                       Complement, 1-x
 r1                     Range to 1
                    Else
               µ      Monadic chain
    ’                   Decrement
     ß                  Call itself recursively
      Ḥ                 Double
       0;               Prepend 0
         _              Subtract with
            $             Monadic chain
          ’’                Decrement twice
              $           Monadic chain
             ß              Call itself recursively

— millas
fuente

14 bytes

— Leaky Nun

2

Ruby + polinomio , 59 58 + 13 = 72 71 bytes

Usa la -rpolynomialbandera.

f=->n{x=Polynomial.new 0,1;n<2?[1,x][n]:2*x*f[n-1]-f[n-2]}

— Tinta de valor
fuente

2

J , 33 bytes

(0>.<:)2&*1:p.@;9:o._1^+:%~1+2*i.

Pruébalo en línea!

Asume que las imprecisiones de coma flotante son aceptables y crea el emoji (0>.<:)

Para 41 bytes , hay otra solución que evita los flotantes.

(0&,1:)`(-&2((-,&0 0)~2*0&,)&$:<:)@.(>&1)

Pruébalo en línea!

— millas
fuente

2

Python 2 , 79 bytes

f=lambda n:n>1and[2*a-b for a,b in zip([0]+f(n-1),f(n-2)+[0,0])]or range(1-n,2)

Pruébalo en línea!

— Chas Brown
fuente

2

Axioma, 40 bytes

f(n,x)==(n<2=>x^n;2*x*f(n-1,x)-f(n-2,x))

resultados

(9) -> for i in [0,1,2,3,4,5,10] repeat output ["f(y)",i,"=", f(i,y)]
   ["f(y)",0,"=",1]
   ["f(y)",1,"=",y]
                   2
   ["f(y)",2,"=",2y  - 1]
                   3
   ["f(y)",3,"=",4y  - 3y]
                   4     2
   ["f(y)",4,"=",8y  - 8y  + 1]
                    5      3
   ["f(y)",5,"=",16y  - 20y  + 5y]
                      10        8        6       4      2
   ["f(y)",10,"=",512y   - 1280y  + 1120y  - 400y  + 50y  - 1]
                                                               Type: Void

es posible definir una ley de sustitución para la fórmula en el uso de Axiom sobre la función f () para la expansión de cos (n * x) donde n es un número entero

(9) -> o:=rule cos(n*%y)==f(n,cos(%y))
   (9)  cos(%y n) == 'f(n,cos(%y))
                    Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
                                                              Time: 0 sec
(10) -> b:=o cos(20*x)
   (10)
                 20                18                16                14
     524288cos(x)   - 2621440cos(x)   + 5570560cos(x)   - 6553600cos(x)
   +
                  12                10               8              6
     4659200cos(x)   - 2050048cos(x)   + 549120cos(x)  - 84480cos(x)
   +
               4            2
     6600cos(x)  - 200cos(x)  + 1
                                                 Type: Expression Integer
                       Time: 0.48 (EV) + 0.02 (OT) + 0.10 (GC) = 0.60 sec

— RosLuP
fuente

1

C # (.NET Core) , 126 bytes

f=n=>n==0?new[]{1}:n==1?new[]{0,1}:new[]{0}.Concat(f(n-1)).Select((a,i)=>2*a-(i<n-1?f(n-2)[i]:0)).ToArray();

El recuento de bytes también incluye:

using System.Linq;

Pruébalo en línea!

La función devuelve polinomio como una matriz de coeficientes en orden ascendente (de x^0a x^n)

Explicación:

f = n =>                          // Create a function taking one parameter (int)
    n == 0 ? new[] { 1 } :        // If it's 0, return collection [1]
    n == 1 ? new[] { 0, 1 } :     // If it's 1, return collection [0,1] (so x + 0)
    new[] { 0 }                   // Else create new collection, starting with 0
        .Concat(f(n - 1))         // Concatenate with f(n-1), effectively multiplying polynomial by x
        .Select((a, i) => 2 * a - (i < n - 1 ? f(n - 2)[i] : 0))
                                  // Multiply everything by 2 and if possible, subtract f(n-2)
        .ToArray();               // Change collection to array so we have a nice short [] operator
                                  // Actually omitting this and using .ElementAt(i) is the same length, but this is my personal preference

— Grzegorz Puławski
fuente

1

JavaScript (ES6), 65 bytes

f=n=>n?n>1?[0,...f(n-1)].map((e,i)=>e+e-(f(n-2)[i]||0)):[0,1]:[1]

Ineficiente para grandes n. Interesante pero lamentablemente también ineficiente:

n=>[...Array(n+1)].map(g=(m=n,i)=>i<0|i>m?0:m<2?i^m^1:g(m-1,i-1)*2-g(m-2,i))

Muy eficiente para 68 bytes:

f=(n,a=[1],b=[0,1])=>n?f(n-1,b,[0,...b].map((e,i)=>e+e-(a[i]||0))):a

Devuelve una matriz de coeficientes en orden ascendente.

— Neil
fuente

Многочлены Чебышёва (Polinomios de Chebyshev)

Reto

Definición

Detalles

Ejemplos

Mathematica, 15 bytes

Octava , 39 bytes

Explicación

Pari / GP , 12 bytes

Pari / GP , 34 bytes

Haskell , 62 bytes

CJam (21 bytes)

Python + SymPy , 66 bytes

Con representación de coeficientes descendentes

SageMath, 25 bytes

MATL , 17 bytes

Explicación

Jalea , 18 bytes

Explicación

Ruby + polinomio , 59 58 + 13 = 72 71 bytes

J , 33 bytes

Python 2 , 79 bytes

Axioma, 40 bytes

C # (.NET Core) , 126 bytes

JavaScript (ES6), 65 bytes